Question

已知正方形ABCD中，E為對角線BD上一點，過E點作EF⊥BD交BC于F，連接DF，G為DF中點，連接EG，CG．

（1）求證：EG=CG；
（2）將圖①中△BEF繞B點逆時針旋轉45°，如圖②所示，取DF中點G，連接EG，CG．
問（1）中的結論是否仍然成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由；
（3）將圖①中△BEF繞B點旋轉任意角度，如圖③所示，再連接相應的線段，問（1）中的結論是否仍然成立？通過觀察你還能得出什么結論（均不要求證明）．

Answer 1

詳見解析.

試題分析：（1）在Rt△FCD中，∵G為DF的中點，根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得，即CG=EG.
(2) 連接AG，過G點作MN⊥AD于M，與EF的延長線交于N點．可證：△DAG≌△DCG，得出AG=CG，另外又可證△DMG≌△FNG得MG=NG，可證△AMG≌△ENG即有答案CG=EG.
試題解析：解：（1）證明：在Rt△FCD中，
∵G為DF的中點，
∴，
同理，在Rt△DEF中，
，
∴CG=EG．
（2）（1）中結論仍然成立，即EG=CG．

證法一：連接AG，過G點作MN⊥AD于M，與EF的延長線交于N點．
在△DAG與△DCG中，
∵AD=CD，∠ADG=∠CDG，DG=DG，
∴△DAG≌△DCG，
∴AG=CG；
在△DMG與△FNG中，
∵∠DGM=∠FGN，FG=DG，∠MDG=∠NFG，
∴△DMG≌△FNG，
∴MG=NG；
在矩形AENM中，AM=EN，
在△AMG與△ENG中，
∵AM=EN，∠AMG=∠ENG，MG=NG，
∴△AMG≌△ENG，
∴AG=EG，
∴EG=CG．

證法二：延長CG至M，使MG=CG，
連接MF，ME，EC，
在△DCG與△FMG中，
∵FG=DG，∠MGF=∠CGD，MG=CG，
∴△DCG≌△FMG．
∴MF=CD，∠FMG=∠DCG，
∴MF∥CD∥AB，
∴EF⊥MF．
在Rt△MFE與Rt△CBE中，
∵MF=CB，EF=BE，
∴△MFE≌△CBE
∴∠MEF=∠CEB．
∴∠MEC=∠MEF+∠FEC=∠CEB+∠CEF=90°，
∴△MEC為直角三角形．
∵MG=CG，
∴，
∴EG=CG．
（3）（1）中的結論仍然成立．
即EG=CG．其他的結論還有：EG⊥CG．