Question

【題目】已知：在平面直角坐標系中A（0，a）、B（b，0），且滿足4（a﹣2）2+（b﹣4）2＝0，點P（m，m）在線段AB上

（1）求A、B的坐標；

（2）如圖1，若過P作PC⊥AB交x軸于C，交y軸交于點D，求的值；

（3）如圖2，以AB為斜邊在AB下方作等腰直角△ABC，CG⊥OB于G，設I是∠OAB的角平分線與OP的交點，IH⊥AB于H．請探究的值是否發生改變，若不改變請求其值；若改變請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）A（0，2），B（4，0）；（2）5；（3）的值不變，為2．

【解析】

（1）根據非負數的性質即可解決問題．

（2）先求出直線AB的解析式，利用方程組求出點P坐標，再求出直線PC的解析式，求出點C坐標即可解決問題．

（3）如圖2中，作IE⊥OA于E，CM⊥y軸于M，IF⊥OB于F．由△ACM≌△BCG，推出AM＝BG，CM＝CG，推出BH﹣AH＝OB﹣OA＝2CG，即可解決問題．

（1）∵4（a﹣2）2+（b﹣4）2＝0，

又∵4（a﹣2）2≥0，（b﹣4）2≥0，

∴a＝2，b＝4，

∴A（0，2），B（4，0）．

（2）如圖中，

∵A（0，2），B（4，0），

∴直線AB的解析式為y＝﹣x+2，

∵P（m，m），

∴點P在直線y＝x上，

由解得，

∴點P（，），

∵PC⊥AB，

∴直線PC的解析式為y＝2x﹣，

∴點C坐標為（，0），

∴OC＝，BC＝，

∴＝＝5．

（3）的值不變．理由如下：

如圖2中，作IE⊥OA于E，CM⊥y軸于M，IF⊥OB于F．

∵設I是∠OAB的角平分線與OP的交點，OP平分∠AOB，

∴I是內心，

∵IH⊥AB，IE⊥OA，IF⊥OB，

∴IE＝IH＝IF，易知AH＝AE，BF＝BH，

∴BH﹣AH＝BF﹣AE＝OB﹣OA，

∵∠MCG＝∠ACB＝90°，

∴∠ACM＝∠BCG，

在△ACM和△BCG中，

，

∴△ACM≌△BCG（AAS），

∴AM＝BG，CM＝CG，

∵∠OMC＝∠OGC＝∠MOG＝90°，

∴四邊形OMCG是矩形，

∵CM＝CG，

∴四邊形OMCG是正方形，

∴OM＝OG＝CG＝CM，

∴BH﹣AH＝OB﹣AO＝（BG+OG）﹣（AM﹣OM）＝2CG，

∴＝＝2．