Question

【題目】Rt△ ABC 中， AB=AC，點 D 為 BC 中點．∠ MDN=90°， ∠ MDN 繞點 D 旋轉，DM、DN 分別與邊 AB、AC 交于 E、F 兩點．下列結論：① BE+CF=BC；② S△AEF ≤S△ABC；③ S四邊形AEDF=ADEF；④ AD≥ EF；⑤ AD與EF可能互相平分，其中正確結論的個數是（ ）

A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個

Answer 1

【答案】C

【解析】分析：先由ASA證明△AED≌△CFD，得出，再由勾股定理即可得出從而判斷①；設AB=AC=a，AE=CF=x，則AF=ax.先由三角形的面積公式得出再根據二次函數的性質即可判斷②；由勾股定理得到EF的表達式，利用二次函數性質求得EF最小值為而所以，從而④錯誤；先得出

S四邊形AEDF=S△AED+S△ADF=S△CFD+S△ADF=S△ADC=再由得到

∴ADEF>S四邊形AEDF，所以③錯誤；如果四邊形AEDF為平行四邊形，則AD與EF互相平分，此時DF∥AB，DE∥AC，又D為BC中點，所以當E、F分別為AB、AC的中點時，AD與EF互相平分，從而判斷⑤．

詳解：∵Rt△ABC中，AB=AC，點D為BC中點，

∴，AD=BD=CD，

∵

∴

∴∠ADE=∠CDF.

在△AED與△CFD中，

∵

∴△AED≌△CFD(ASA)，

∴AE=CF，

在Rt△ABD中,

故①正確；

設AB=AC=a，AE=CF=x，則AF=ax.

∵，

∴當時,有最大值

又∵

∴

故②正確；

∴當時,取得最小值

∴ (等號當且僅當時成立)，

而∴

故④錯誤；

由①的證明知△AED≌△CFD，

∴S四邊形AEDF=S△AED+S△ADF=S△CFD+S△ADF=S△ADC=，

∵

∴

∴ADEF>S四邊形AEDF，

故③錯誤；

當E.F分別為AB、AC的中點時，四邊形AEDF為正方形，此時AD與EF互相平分.

故⑤正確。

綜上所述，正確的有：①②⑤，共3個.

故選C.