Question

【題目】閱讀下面的材料：
解方程x4﹣7x2+12=0這是一個一元四次方程，根據該方程的特點，它的解法通常是：設x2=y，則x4=y2 ， ∴原方程可化為：y2﹣7y+12=0，解得y1=3，y2=4，當y=3時，x2=3，x=± ，當y=4時，x2=4，x=±2．∴原方程有四個根是：x1= ，x2=﹣ ，x3=2，x4=﹣2，以上方法叫換元法，達到了降次的目的，體現了數學的轉化思想，運用上述方法解答下列問題．
（1）解方程：（x2+x）2﹣5（x2+x）+4=0；
（2）已知實數a，b滿足（a2+b2）2﹣3（a2+b2）﹣10=0，試求a2+b2的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：設y=x2+x，則y2﹣5y+4=0，
整理，得
（y﹣1）（y﹣4）=0，
解得y1=1，y2=4，
當x2+x=1即x2+x﹣1=0時，解得：x= ；
當當x2+x=4即x2+x﹣4=0時，解得：x= ；
綜上所述，原方程的解為x1 ， 2= ，x3 ， 4=
（2）解：設x=a2+b2 ， 則x2﹣3x﹣10=0，
整理，得
（x﹣5）（x+2）=0，
解得y1=5，y2=﹣2（舍去），
故a2+b2=5．
【解析】（1）利用換元的思想，把x2+x看做一個整體，先求出x2+x，再分別求出x的值；（2）利用換元法求出a2+b2后，可判斷a2+b20,所求出的負值要舍掉.