Question

【題目】在四邊形ABCD中，點E是對角線BD上一點，點Q是AD邊上一點，BQ交AE于點P，∠ABQ=∠DAE，點F是AB邊的中點．

（1）當四邊形ABCD是正方形時，如圖（1）．

①若BE=BA，求證：△ABP≌△EBP；

②若BE=4DE，求證：AF2=AQ·AD．

（2）當四邊形ABCD是矩形時，如圖（2），連接FQ，FD．若BE=4DE，求證：∠AFQ=∠ADF．

Answer 1

【答案】（1）①證明見解析；②證明見解析；（2）證明見解析．

【解析】

（1）①由HL可證明Rt△ABPRt△EBP；

②證明：過點E作EG⊥AD于點G可得△DEG∽△DBA，可得，以及△BAQ∽△AGE，可得，設DG=a，則GE=a，DA=5a，AB=5a，AG=4a．AQ=，代入即可證明：AF2=AQ·AD；

（2）延長AE交于CD邊于點H，設DH=m，由AB∥CD，可得△DEH∽△BEA，可得AF=2m，由△BAQ∽△ADH，可得 即AQ·DA=DH·AB=4m2=AF2，可證△AFQ∽△ADF，即可得出∠AFO=∠ADF．

（1）①證明：在正方形ABCD中，∠ABQ=∠DAE．

∵∠ABQ＋∠BAP=∠DAE＋∠BAP=∠BAD=90°，

∴∠BPA=∠BPE=90°．

在Rt△ABP和Rt△EBP中，

，

∴Rt△ABPRt△EBP

②證明：過點E作EG⊥AD于點G，如圖

∴∠GED=∠BAD=90°

∵∠GDE=∠ADB

∴△DEG∽△DBA，

∴

設DG=a，則GE=a，

∴DA=5a，AB=5a，AG=4a．

∵∠ABQ=∠DAE，∠BAQ=∠AGE，

∴△BAQ∽△AGE，

∴

即AQ=

∵F是AB邊的中點，

∴

又∵AQ·AD=，

∴AF2=AQ·AD

（2）證明：延長AE交于CD邊于點H，設DH=m

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AB∥CD，

∴△DEH∽△BEA，

∴即AB=4m，

∴AF=2m

∵∠BAQ=∠APB=90°

∴∠ABQ+∠BAP=∠DAH+∠BAP=90°

∴∠ABQ=∠DAH

∵∠BAQ=∠ADH=90°，∠ABQ=∠DAH

∴△BAQ∽△ADH，，

∴ 即AQ·DA=DH·AB=4m2=AF2，

∴

又∠FAO=∠DAF，

∴△AFQ∽△ADF，

∴∠AFO=∠ADF．