Question

【題目】如圖，已知拋物線y=x2+mx+n與x軸相交于點A、B兩點，過點B的直線y=x+b交拋物線于另一點C（－5,6），點D是線段BC上的一個動點（點D與點B、C不重合），作DE∥AC，交該拋物線于點E，

（1）求m,n,b的值；

（2）求tan∠ACB；

（3）探究在點D運動過程中，是否存在∠DEA=45°，若存在，則求此時線段AE的長；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）m=1,n=；（2）；（3）

【解析】分析：（1）由點C的坐標利用待定系數法即可求出一次函數解析式中的常數項b，再令一次函數解析式中y=0求出x值，由此可得出點B的坐標，由點B、C的坐標利用待定系數法即可求出二次函數解析式中的系數m、n；

（2）過點C作CF⊥x軸于點F，過點A作AG⊥BC于點G，由二次函數解析式可求出交點A、B的坐標，由點B、C、A點的坐標，可找出線段CF、BF、AF、BA的長，通過解直角三角形即可找出BG、AG、BC的長，再根據正切的計算公式即可得出結論；

（3）假設存在，連接AE，過點E作EM⊥x軸于點M，通過角的計算得出∠BAE=∠BDE=∠BCA，設出點E的坐標，根據（2）的結論tan∠ACB=，即可得出關于t的一元二次方程，解方程即可得出結論．

詳解：(1)∵直線y=x+b經過點C(5，6) ∴b=1

∵B在x軸上，且在直線y=x+b上 ∴B(1，0)

∵拋物線y=x2+mx+n過B(1，0)、C(5，6)

∴ m=1,n=

(2)作CF⊥x軸于F，作AG⊥BC于G

∴F(5,0)

∵拋物線y=x2+mx+n與x軸交于A、B

∴A(3,0) B(1,0)∴CF=BF=6,AF=2,AB=4∴∠CBF=45°,BC=6,

∴BG=AG=2 ∴CG=4

∴tan∠ACB=

(3) ∵DE∥AC ∴∠BDE=∠BCA∵∠DEA=45° ∠DBA=45°

∴∠BAE=∠BDE=∠BCA

∴tan∠BAE=

設E（t, t2+t） ∴tan∠BAE＝=

∴t=0 ∴E(0, ) ∴AE=