Question

【題目】已知在中，∠ACB為銳角，點D為射線BC上一點，聯結AD，以AD為腰在AD的右側作等腰直角，∠DAE=90°，解答下列問題：

（1）如果AB=AC，∠BAC=90°

①如圖1，當點D在線段BC上時（與點B不重合），線段CE、BD之間的位置關系為_______

②如圖2，當點D在線段BC的延長線上時，①的結論是否仍然成立，如果不成立請說明理由，如果成立請加以證明

（2）如圖3，如果AB≠AC，∠BAC≠90°，當點D在線段BC的延長線上時，試探究：

當∠ACB=45°時（點C與點E重合除外），求：∠ECA的度數？

Answer 1

【答案】（1）①CE⊥BD；②成立；證明見解析；（2）45°

【解析】

（1）①根據∠BAD=∠CAE，AB=AC，AD=AE，運用“SAS”證明，再利用全等三角形的性質即可得到線段CE、BD之間的關系；

②先根據“SAS”證明，再利用全等三角形的性質即可證得①中的結論仍然成立；

（2）過點A作FA⊥AC，交BC于點F， 根據“SAS”證明，再利用全等三角形的性質即可解決問題.

（1）CE⊥BD

∵AB=AC，∠BAC=90°

∴∠B=∠ACB=45°

∵等腰直角，∠DAE=90°

∴AD=AE

∴∠BAC-∠CAD=∠EAD-∠CAD

即∠BAD=∠CAE

在△ABD和△ACE中

∴

∴∠ACE=∠B=45°

∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°

∴CE⊥BD

②答：①的結論仍然成立

證明：∵AB=AC，∠BAC=90°

∴∠B=∠ACB=45°

∵等腰直角，∠DAE=90°

∴AD=AE

∴∠BAC+∠CAD=∠EAD+∠CAD

即∠BAD=∠CAE

在△ABD和△ACE中

∴

∴∠ACE=∠B=45°

∴∠BDE=∠ACB+∠ACE=90°

∴CE⊥BD

（2）

如圖，解：作FA⊥AC，交BC于點F

∵∠ACB=45°

∴∠AFC=45°AF=AC

∵等腰直角，∠DAE=90°

∴AD=AE，∠ADE=∠AED=45°

∵∠FAC=∠DAE=90°

∴∠FAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD

即∠FAD=∠CAE

在△FAD和△CAE中

∴

∴∠ECA=∠AFC=45°