Question

【題目】有一邊是另一邊的倍的三角形叫做智慧三角形，這兩邊中較長邊稱為智慧邊，這兩邊的 夾角叫做智慧角．

（1）在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，若∠A 為智慧角，則∠B 的度數為 ；

（2）如圖①，在△ABC 中，∠A＝45°，∠B＝30°，求證：△ABC 是智慧三角形；

（3）如圖②，△ABC 是智慧三角形，BC 為智慧邊，∠B 為智慧角，A（3，0），點 B，C 在函數 y＝ （x＞0）的圖像上，點 C 在點 B 的上方，且點 B 的縱坐標為．當△ABC是直角三角形時，求 k 的值．

Answer 1

【答案】（1）45°．（2）見解析；（3）k＝4或18＋15．

【解析】試題分析：（1）由智慧角的定義得到AB=AC，解直角三角形即可得到結論．

（2）過點C作CD⊥AB于點D．在Rt△ACD中，由∠A＝45°，得到AC＝DC．

在Rt△BCD中，由∠B＝30°，得到BC＝2DC，即可得到結論．

（3）分兩種情況討論：①∠ABC＝90°；②∠BAC＝90°．

試題解析：解：（1）∵∠ACB＝90°，若∠A 為智慧角，∴AB=AC，∴cosA=，∴∠A=45°，∴∠B=45°．

（2）如圖1，過點C作CD⊥AB于點D．

在Rt△ACD中，∠A＝45°，∴AC＝DC．

在Rt△BCD中，∠B＝30°，∴BC＝2DC，∴＝，∴△ABC是智慧三角形．

（3）由題意可知：∠ABC＝90°或∠BAC＝90°．

①當∠ABC＝90°時，如圖2，過點B作BE⊥x軸于點E，過點C作CF⊥EB交EB延長線于點F，過點C作CG⊥x軸于點G，則∠AEB＝∠F＝∠ABC＝90°，∴∠BCF＋∠CBF＝∠ABE＋∠CBF＝90°，∴∠BCF＝∠ABE，∴△BCF∽△ABE，∴＝＝＝．

設AE＝a，則BF＝a．∵BE＝，∴CF＝2．

∵OG＝OA＋AE－GE＝3＋a－2＝1＋a，CG＝EF＝＋a，∴B（3＋a， ），C（1＋a， ＋a）．∵點B，C在函數y＝（x＞0）的圖像上，∴ (3＋a)＝(1＋a)( ＋a)＝k．

解得：a1＝1，a2＝－2（舍去），∴k＝．

②當∠BAC＝90°時，如圖3，過點C作CM⊥x軸于點M，過點B作BN⊥x軸于點N，則∠CMA＝∠CAB＝∠ANB＝90°，∴∠MCA＋∠CAM＝∠BAN＋∠CAM＝90°，∴∠MCA＝∠BAN．由（1）知∠B＝45°，∴△ABC是等腰直角三角形，∴AC＝AB．

由①知△MAC∽△NBA，∴△MAC≌△NBA（AAS），∴AM＝BN＝．

設CM＝AN＝b，則ON＝3＋b，∴B（3＋b， ），C（3－，b）．

∵點B，C在函數y＝（x＞0）的圖像上，∴ (3＋b)＝(3－)b＝k，

解得：b＝9＋12，∴k＝18＋15．

綜上所述：k＝4或18＋15．