Question

【題目】如圖，二次函數(shù)y＝x2－4x＋3的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)(點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè))，與y軸交于點(diǎn)C，拋物線的對(duì)稱(chēng)軸與x軸交于點(diǎn)D.

(1)求點(diǎn)A，點(diǎn)B和點(diǎn)D的坐標(biāo)；

(2)在y軸上是否存在一點(diǎn)P，使PBC為等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)若動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿AB向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)N從點(diǎn)D出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)M到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)M，N同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，問(wèn)點(diǎn)M，N運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，MNB的面積最大，試求出最大面積．

　　　　(備用圖)

Answer 1

【答案】見(jiàn)解析

【解析】試題分析：（1）已知拋物線的一般式，令y=0，可得關(guān)于x的方程，解方程可得拋物線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，從而得到A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)，通過(guò)配方可得到拋物線的對(duì)稱(chēng)軸，從而可得點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（2）先求出BC的長(zhǎng)，然后分情況進(jìn)行討論即可得；

（3）設(shè)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為ts，用含t的式子先表示出BM與DN的長(zhǎng)，然后利用三角形的面積公式表示出△MNB的面積，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得.

試題解析：(1)當(dāng)y＝0時(shí)，x2－4x＋3＝0.

解得x1=1，x2=3，

∵點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè)，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0），

∵y=x2-4x+3=(x-2)2-1，

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，0）；

（2）存在一點(diǎn)P，使△PBC為等腰三角形，

當(dāng)x=0加法，y=x2-4x+3=3，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，3），

∴BC=，

點(diǎn)P中y軸上，當(dāng)△PBC為等腰三角形時(shí)分三種情況討論，點(diǎn)P位置如圖，

①當(dāng)CP＝CB時(shí)，PC＝3，

∴OP＝OC＋PC＝3＋3 或OP＝PC－OC＝3－3.

∴P1(0，3＋3)，P2(0，3－3)；

②當(dāng)BP＝BC時(shí)，OP＝OC＝3，

∴P3(0，－3)；

③當(dāng)PB＝PC時(shí)，

∵OC＝OB＝3，

∴此時(shí)點(diǎn)P與點(diǎn)O重合．

∴P4(0，0)，

綜上所述，當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0，3＋3)或(0，3－3)或(0，－3)或(0，0)時(shí)，△PBC為等腰三角形；

（3）設(shè)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為ts，

∵AB=2，∴BM=2-t，DN=2t，

∴S△MNB==-t2+2t=-(t-1)2+1，

∴當(dāng)t=1時(shí)，△MNB的面積最大，最大面積為1，

此時(shí)M（2，0），N（2，2）或（2，-2），

∴當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到（2，0），點(diǎn)N運(yùn)動(dòng)到（2，2）或（2，-2）時(shí)，△MNB的面積最大，最大面積為1.