Question

【題目】如圖，A，B兩點(diǎn)在x軸的正半軸上運(yùn)動(dòng)，四邊形ABCD是矩形，C，D兩點(diǎn)在拋物線y=﹣x2+8x上．

（1）若OA=1，求矩形ABCD的周長(zhǎng)；

（2）設(shè)OA=m（0＜m＜4），求出四邊形ABCD的周長(zhǎng)L關(guān)于m的函數(shù)表達(dá)式；

（3）在（2）的條件下求L的最大值．

Answer 1

【答案】（1）26；（2）L=﹣2m2+12m+16，（3）34．

【解析】（1）根據(jù)自變量與函數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系，可得D點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)矩形的周長(zhǎng)公式，可得答案

（2）求L與m的函數(shù)解析式就是把m當(dāng)作已知量，求L，先求AD，它的長(zhǎng)就是D點(diǎn)的縱坐標(biāo)，再把D點(diǎn)縱坐標(biāo)代入函數(shù)解析式求C點(diǎn)橫坐標(biāo)，C點(diǎn)橫坐標(biāo)與D點(diǎn)橫坐標(biāo)的差就是線段CD的長(zhǎng)，用L=2（AD+CD），建立函數(shù)關(guān)系式．

（3）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可得答案．

（1）當(dāng)x=1時(shí)，y=-1+8=7，即AD=7，D點(diǎn)坐標(biāo)為（1，7）．

當(dāng)y=7時(shí)，-x2+8x=7，

解得x1=1，x2=7，

即AB=7-1=6，

矩形ABCD的周長(zhǎng)=2（AD+AB）=2（7+6）=26；

（2）把x=m代入拋物線y=-x2+8x中，得AD=-m2+8m

把y=-m2+8m代入拋物線y=-m2+8m中，得

-m2+8m=-x2+8x

解得x1=m，x2=8-m

∴C的橫坐標(biāo)是8-m，故AB=8-m-m=8-2m

∴矩形的周長(zhǎng)是L=2（-m2+8m）+2（8-2m）

即L=-2m2+12m+16．

（3）L=-2m2+12m+16化為頂點(diǎn)式，得

L=-2（m-3）2+34 （0＜m＜4），

當(dāng)m=3時(shí)，L最大=34，

在（2）的條件下求L的最大值是34．