Question

【題目】如圖，在中， ， ，點在邊上，且，以為圓心， 長為半徑的圓分別交, 于, 兩點.

（1）求證： 是的切線；

（2）判斷由, , 及切點所構成的四邊形的形狀，并說明理由.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）四邊形為菱形，理由見解析.

【解析】試題分析：（1）作OF⊥AC于F，如圖，理由三角函數可得到∠A=30°，OA=2OF，再利用BO=AB得到OA=2OB，所以OF=OB，于是根據切線的判定方法可判AC是⊙O的切線；（2）先證明△OFD和△OBE都是等邊三角形得到OD=DF，∠BOE=60°，則可計算出∠EOF=60°，從而可判定△OEF為等邊三角形，所以EF=OE，則有OD=DF=EF=OE，然后根據菱形的判定方法可判斷四邊ODFE為菱形．

試題解析：

(1)證明：作OF⊥AC于F，如圖，

∵∠C=90°，AB=2BC，

∴sinA==，

∴∠A=30°，

∴OA=2OF，

∵BO=AB，

∴OA=2OB，

∴OF=OB，

∴AC是⊙O的切線；

(2)四邊形ODFE為菱形。理由如下：

∵∠A=30°，

∴∠AOF=∠B=60°，

∴△OFD和△OBE都是等邊三角形，

∴OD=DF,∠BOE=60°，

∴∠EOF=180°60°60°=60°，

∴△OEF為等邊三角形，

∴EF=OE，

∴OD=DF=EF=OE，

∴四邊形ODFE為菱形。