Question

【題目】2019年北疆承辦了世界園藝博覽會，某商店為了抓住博覽會的商機，決定購買A.B兩種世園會紀念品，若購進A中紀念品20件，B種紀念品10件，需要2000元;若購進A中紀念品8件，B種紀念品6件，需要1100元.

(1)求購進A.B兩種紀念品每件各需要多少元?

(2)若該商店決定拿出10000元全部用來購進這兩種紀念品，考慮到市場需求，要求購進A種紀念品的數量不少于B種的6倍，且少于B種紀念品數量的8倍，設購進B種紀念品a件，則該商店共有幾種進貨方案?

(3)在第(2)問的條件下，若銷售每件A種紀念品可獲利潤30元，每件B種紀念品可獲利潤40元，設總利潤為y元，請寫出總利潤y(元)與a(個)的函數關系式，并根據函數關系式說明總利潤最高時的進貨方案.

Answer 1

【答案】(1)A: 25元/件; B: 150 元/件;(2)a= 29,30,31,32,33共五種進貨方案(省略A.B的進貨方案);(3) y=12000-140a， ∵140 a <0，. y隨x的增大而減小;故當a= 29時，總利潤最高為7940元.

【解析】

（1）根據題意列出方程組解答即可得出；

（2）根據題意先得到A種紀念品的件數，再根據購進A種紀念品的數量不少于B種紀念品數量的6倍，且不超過B種紀念品數量的8倍列出不等式組解答即可；

（3）先用W表示利潤，得到W=30（400-6a）+40a=-140a+12000，再根據一次函數的增減性質可得到當a取最小值時，W最大，從而得解。

（1）設購進每件A，B紀念品各需x元，y元，可得：

解得：

答：A種紀念品每件25元，B種紀念品每件150元.

（2）設購買B種紀念品a件．

則購買A種紀念品的個數為：，

根據題意得：

由于a取正整數，

解得：a=29,30,31,32,33

所以共有5種購買方案.

（3）解：設利潤為W元，則W=30（400-6a）+40a=-140a+12000（29≤a≤33），
∴W隨著a的增大而減小，
∴當a=29時，W最大，
∴W最大=-140×29+12000=7940（元），
答：方案獲利最大為：A種紀念品226件，B種紀念品29件，最大利潤為3800元．