Question

【題目】已知⊙O的直徑為10，點A，點B，點C在⊙O上，∠CAB的平分線交⊙O于點D．

（1）如圖①，若BC為⊙O的直徑，AB=6，求AC，BD，CD的長；

（2）如圖②，若∠CAB=60°，求BD的長．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）AC =8；BD=CD=5；（Ⅱ）BD=5．

【解析】試題分析：(1)、根據直徑得出∠CAB=∠BDC=90°，然后根據Rt△CAB的勾股定理得出AC的長度，然后根據等腰直角△BDC求出BD和CD的長度；(2)、連接OB，OD，根據AD平分∠CAB，且∠CAB=60°得出∠DOB=2∠DAB=60°，從而得出△OBD為等邊三角形，從而得出BD的長度.

試題解析：(1)、如圖①，∵BC是⊙O的直徑，∴∠CAB=∠BDC=90°．

∵在直角△CAB中，BC=10，AB=6， ∴由勾股定理得到：AC===8．

∵AD平分∠CAB， ∴=，∴CD=BD．

在直角△BDC中，BC=10，CD2+BD2=BC2，∴易求BD=CD=5；

(2)、如圖②，連接OB，OD． ∵AD平分∠CAB，且∠CAB=60°，∴∠DAB=∠CAB=30°，∴∠DOB=2∠DAB=60°．

又∵OB=OD，∴△OBD是等邊三角形，∴BD=OB=OD．∵⊙O的直徑為10，則OB=5， ∴BD=5．