Question

【題目】已知，AB是⊙O的直徑，點C在⊙O上，點P是AB延長線上一點，連接CP．

(1)如圖1，若∠PCB＝∠A．

①求證：直線PC是⊙O的切線；

②若CP＝CA，OA＝2，求CP的長；

(2)如圖2，若點M是弧AB的中點，CM交AB于點N，MNMC＝9，求BM的值．

Answer 1

【答案】(1) ①見解析；②2；(2)3.

【解析】

（1）①由等腰三角形的性質和圓周角定理可得OC⊥CP，即可得出結論；

②根據(jù)圓周角定理及三角形內角和定理得出∠P=30°，根據(jù)30°角所對直角邊等于斜邊的一半即可得出結論；

（2）根據(jù)圓周角定理可證△AMC∽△NMA，再根據(jù)相似三角形的對應邊成比例即可得出結論．

（1）①∵OA=OC，∴∠A=∠ACO．

∵∠PCB=∠A，∴∠ACO=∠PCB．

∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACO+∠OCB=90°，∴∠PCB+∠OCB=90°，即OC⊥CP．

∵OC是⊙O的半徑，∴PC是⊙O的切線．

②∵CP=CA，∴∠P=∠A，∴∠COB=2∠A=2∠P．

∵∠OCP=90°，∴∠P=30°．

∵OC=OA=2，∴OP=2OC=4，∴PC==；

（2）連接MA、MB．

∵點M是弧AB的中點，∴AM=BM，∴∠ACM=∠BAM．

∵∠AMC=∠AMN，∴△AMC∽△NMA，∴，∴AM2=MCMN．

∵MCMN=9，∴AM=3，∴BM=AM=3．