Question

【題目】如圖，是的內(nèi)接三角形，AB為直徑，，，點D為線段AC上一動點，過點D作AB的垂線交于點E，交AB于點F，連結(jié)BD，CF，并延長BD交于點H．

求的半徑；

當(dāng)DE經(jīng)過圓心O時，求AD的長；

求證：；

求的最大值．

Answer 1

【答案】（1）5；（2）；（3）見解析；（4）當(dāng)時，為最大值

【解析】

由AB是直徑知，依據(jù)及勾股定理求解可得；

由知，結(jié)合為公共角可證∽得，據(jù)此可得；

由∽知，結(jié)合為和的公共角可證∽，依據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得答案；

連接CH，先證∽得，即，再設(shè)，則，，從而得出，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解可得．

解：為直徑，

，

，

，

由勾股定理：；

，

，

為和的公共角，

∽，

，

；

由可得∽，

，即，

又為和的公共角，

∽，

；

連結(jié)CH，

由知∽，

，

，

，

又，

∽，

，即，

設(shè)，則，，

，

當(dāng)時，為最大值．