Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線y=﹣x+b與坐標(biāo)軸交于C，D兩點(diǎn)，直線AB與坐標(biāo)軸交于A，B兩點(diǎn)，線段OA，OC的長是方程x2﹣3x+2=0的兩個根（OA＞OC）．

（1）求點(diǎn)A，C的坐標(biāo)；

（2）直線AB與直線CD交于點(diǎn)E，若點(diǎn)E是線段AB的中點(diǎn)，反比例函數(shù)y=（k≠0）的圖象的一個分支經(jīng)過點(diǎn)E，求k的值；

（3）在（2）的條件下，點(diǎn)M在直線CD上，坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)N，使以點(diǎn)B，E，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出滿足條件的點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）A（﹣2，0），C（1，0）;（2）k=﹣2;(3)存在，點(diǎn)N的坐標(biāo)為（﹣，4+）、（，4﹣）或（，）．

【解析】分析：（1）利用分解因式法解一元二次方程x-3x+2=0即可得出OA、OC的值，再根據(jù)點(diǎn)所在的位置即可得出A、C的坐標(biāo)；（2）根據(jù)點(diǎn)C的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出直線CD的解析式，根據(jù)點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)結(jié)合點(diǎn)E為線段AB的中點(diǎn)即可得出點(diǎn)E的橫坐標(biāo)，將其代入直線CD的解析式中即可求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法即可求出k值；（3）假設(shè)存在，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m，-m+1），分別以BE為邊、BE為對角線來考慮，根據(jù)菱形的性質(zhì)找出關(guān)于m的方程，解方程即可得出點(diǎn)M的坐標(biāo)，再結(jié)合點(diǎn)B、E的坐標(biāo)即可得出點(diǎn)N的坐標(biāo).

本題解析：（1）x2﹣3x+2=(x﹣1)(x﹣2)=0，

∴x1=1，x2=2，

∵OA＞OC，

∴OA=2，OC=1，

∴A（﹣2，0），C（1，0）．

（2）將C（1，0）代入y=﹣x+b中，

得：0=﹣1+b，解得：b=1，

∴直線CD的解析式為y=﹣x+1．

∵點(diǎn)E為線段AB的中點(diǎn)，A（﹣2，0），B的橫坐標(biāo)為0，

∴點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為﹣1．

∵點(diǎn)E為直線CD上一點(diǎn)，

∴E（﹣1，2）．

將點(diǎn)E（﹣1，2）代入y= （k≠0）中，

得：2=，解得：k=﹣2．

3.假設(shè)存在，

設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m，﹣m+1），

以點(diǎn)B，E，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形分兩種情況（如圖所示）：

①以線段BE為邊時，∵E（﹣1，2），A（﹣2，0），E為線段AB的中點(diǎn)，

∴B（0，4），

∴BE=AB= ．

∵四邊形BEMN為菱形，

∴EM= =BE=，

解得：m1=，m2=

∴M（，2+）或（，2﹣），

∵B（0，4），E（﹣1，2），

∴N（﹣，4+）或（，4﹣）；

②以線段BE為對角線時，MB=ME，

∴，

解得：m3=﹣ ，

∴M（﹣， ），

∵B（0，4），E（﹣1，2），

∴N（0﹣1+，4+2﹣），即（ ， ）．

綜上可得：坐標(biāo)平面內(nèi)存在點(diǎn)N，使以點(diǎn)B，E，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，點(diǎn)N的坐標(biāo)為（﹣，4+）、（，4﹣）或（ ， ）．