Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標系中，直線AB與y軸交于點，與x軸交于點B，，直線CD與y軸交于點D，與x軸交于點，，直線AB與直線CD交于點Q，E為直線CD上一動點，過點E作x軸的垂線，交直線AB于點M，交x軸于點N，連接AE、BE．

求直線AB、CD的解析式及點Q的坐標；

當E點運動到Q點的右側，且的面積為時，在y軸上有一動點P，直線AB上有一動點R，當的周長最小時，求點P的坐標及周長的最小值．

在問的條件下，如圖2將繞著點B逆時針旋轉得到，使點M與點G重合，點N與點H重合，再將沿著直線AB平移，記平移中的為，在平移過程中，設直線與x軸交于點F，是否存在這樣的點F，使得為等腰三角形？若存在，求出此時點F的坐標；若不存在，說明理由

Answer 1

【答案】（1）點Q坐標為；（2）周長的最小值，最小值為；（3）點F的坐標為．

【解析】

，直線CD表達式的k值為，即可求解直線CD的表達式；同理可得直線AB的表達式，聯立兩個表達式，即可求解點Q的坐標；

，求出點N坐標；作N點的兩個對稱點、，連接交AB于點R交y軸于點P，此時，周長的最小值，求解即可；

是底角為的當腰三角形，為等腰三角形，即可求解．

點，，，直線CD表達式的k值為，

則直線CD的表達式為：，將點C坐標代入上式并解得：，

故：直線CD的表達式為：，

同理可得直線AB的表達式為：，，

聯立并解得：，即點Q坐標為；

如圖所示，設點E的坐標為，則點，

，

解得：，即點N坐標為，點，

作點N關于直線AB和y軸的對稱點、，連接交AB于點R交y軸于點P，

此時，周長的最小值，最小值為：的長度，

，關于直線AB對稱，，

為邊長為3的等邊三角形，三角形高為：，

則點的坐標為，點，

則直線的表達式為：，即點P坐標，

周長的最小值，最小值為；

如圖2，將繞著點B逆時針旋轉得到，

此時，即點GM關于x軸對稱，則點，，

圖形平移為 時，，

即是底角為的等腰三角形，而為等腰三角形，只能，

，，

故點F的坐標為．