Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，拋物線的頂點(diǎn)為點(diǎn)D，過點(diǎn)B作BC的垂線，交對(duì)稱軸于點(diǎn)E．

（1）求證：點(diǎn)E與點(diǎn)D關(guān)于x軸對(duì)稱；

（2）點(diǎn)P為第四象限內(nèi)的拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△PAE的面積最大時(shí)，在對(duì)稱軸上找一點(diǎn)M，在y軸上找一點(diǎn)N，使得OM+MN+NP最小，求此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)及OM+MN+NP的最小值；

（3）如圖2，平移拋物線，使拋物線的頂點(diǎn)D在射線AD上移動(dòng)，點(diǎn)D平移后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為D′，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A′，設(shè)拋物線的對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)F，將△FBC沿BC翻折，使點(diǎn)F落在點(diǎn)F′處，在平面內(nèi)找一點(diǎn)G，若以F′、G、D′、A′為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，求平移的距離．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）， ，

【解析】試題分析：（1）首先求出A、B、C、D的坐標(biāo)，再根據(jù)△EFB∽△BOC對(duì)應(yīng)邊成比例得出方程，推出EF的長(zhǎng)度，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)即可解決問題；

（2）過點(diǎn)P作PQ∥y軸，交直線AE于點(diǎn)Q．構(gòu)建 二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，作點(diǎn)O關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)O′，作點(diǎn)P關(guān)于Y軸的對(duì)稱點(diǎn)P′，連接O′P′，分別交對(duì)稱軸、y軸于點(diǎn)M、N，此時(shí)M、N即為所求；

（3）由題意得F，A，D三點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)平移距離為 t，則得出A′，D′的坐標(biāo)，可得A′F2，D′F′2，，A′D′2的長(zhǎng)度，然后分三種情形：①當(dāng)A′F2=D′F′2時(shí)，②當(dāng)A′F′2=A′D′2時(shí)，③當(dāng)D′F′2=A′D′2時(shí)列出方程即可解決問題．

試題解析：解：（1）如圖1中，令y=0，得到x2﹣x﹣3=0，解得x=﹣或3，∴A（﹣ ，0），B（3 ，0）．

令x=0，可得y=﹣3，∴C（0，﹣3）．

∵y= x2﹣ x﹣3=（x﹣ ）2﹣4，∴頂點(diǎn)D（ ，﹣4），設(shè)對(duì)稱軸與x軸交于F，則BF=2 ．

∵△EFB∽△BOC，∴ EF：OB=BF：OC，∴ ，∴EF=4，∴E（ ，4），∴E、D關(guān)于x軸對(duì)稱；

（2）過點(diǎn)P作PQ∥y軸，交直線AE于點(diǎn)Q．

∵yAE= x+2，∴設(shè)P（a， a2﹣a﹣3），Q（a， a+2），（0＜a＜3），∴PQ=（a+2）﹣（a2﹣a﹣3）=﹣a2+2 a+5，∴S△PAE= PQ|xE﹣xA|= （﹣a2+2a+5）2=﹣a2+4a+5，∴當(dāng)a= =2時(shí)，S△PAE最大，此時(shí)P（2，﹣3）．

作點(diǎn)O關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)O′（2，0），作點(diǎn)P關(guān)于Y軸的對(duì)稱點(diǎn)P′（﹣2，﹣3）．連接O′P′，分別交對(duì)稱軸、y軸于點(diǎn)M、N，此時(shí)M、N即為所求．

∴yP′O′=x﹣，當(dāng)x=時(shí)，y=﹣，∴M（，﹣），∴OM+MN+NP的最小值O′P′== ；

（3）∵F′（，﹣），A（﹣+t，﹣2t），D（，﹣4），

設(shè)平移距離為 t，則A′（﹣ + t，﹣2t），D′（ +t，﹣4﹣2t），

A′F2=6t2﹣24t+，D′F′2=6t2+，A′D′2=24，

①當(dāng)A′F2=D′F′2時(shí)，6t2﹣24t+ =6t2+，解得t=1．

②當(dāng)A′F′2=A′D′2時(shí)，6t2﹣24t+ =24，解得t=．

③當(dāng)D′F′2=A′D′2時(shí)，24=6t2+ ，解得t=或﹣（舍棄），

∴平移的距離t= ， ， ．