Question

【題目】如圖，二次函數（）的圖象與軸交于兩點，與軸相交于點．連結兩點的坐標分別為、，且當和時二次函數的函數值相等．

（1）求實數的值；

（2）若點同時從點出發，均以每秒1個單位長度的速度分別沿邊運動，其中一個點到達終點時，另一點也隨之停止運動．當運動時間為秒時，連結，將沿翻折，點恰好落在邊上的處，求的值及點的坐標；

（3）在（2）的條件下，二次函數圖象的對稱軸上是否存在點，使得以為項點的三角形與相似？如果存在，請求出點的坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）t=， ；（3）Q（-1，），見解析.

【解析】

（1）由題意和圖形可求出函數的表達式；

（2）結合拋物線內部幾何關系和性質求出t值及P點坐標；

（3）假設成立（1）若有△ACB∽△QNB則有∠ABC=∠QBN，尋找相似條件，判斷是否滿足．

解：（1）∵在拋物線上

∴代入得c=

∵x=-4和x=2時二次函數的函數值y相等，

∴頂點橫坐標,

,

又∵A（-3，0）在拋物線上，

∴9a3b+=0

由以上二式得;

（2）由（1）,

∴B（1，0），

連接BP交MN于點O1，根據折疊的性質可得：O1也為PB中點．

設t秒后有,

設P（x，y），B（1，0）

∵O1為P、B的中點可得，即,

∵A，C點坐標知AC：，P點也在直線AC上代入得t=,

即；

（3）假設成立；

①若有△ACB∽△QNB，則有∠ABC=∠QBN，

∴Q點在x軸上，AC∥QN但由題中A，C，Q，N坐標知直線的一次項系數為：，

則△ACB不與△QNB相似．

②若有△ACB∽△QBN，則有

設，

則，

代入（1）得，

或，

當時有Q（-1，）則不滿足相似舍去；

當y=有Q（-1，）則，

∴存在點Q（-1，）使△ACB∽△QBN．

綜上可得：Q（-1，）.