Question

【題目】利用完全平方公式因式分解在數學中的應用，請回答下列問題：

（1）因式分解：_______．

（2）填空：

①當時，代數式_______．

②當_______時，代數式；

③代數式的最小值是_______．

（3）拓展與應用：當、為何值時，代數式有最小值，并求出這個最小值．

Answer 1

【答案】（1）(x-2)2；（2）①0；②3；③-26；（3）a=2，b=4，最小值為10．

【解析】

（1）根據差的完全平方公式進行分解便可；

（2）①先分解因式，再代值計算；

②先對等式左邊的代數式進行因式分解，再求未知數的值；

③通過因式分解把原式化成一個完全平方式與一個常數和的形式，便可求得最小值；

（3）利用完成完全平方式分解因式，把已知代數式轉化為兩個代數式的平方和與一個常數的和的形式，便可求得最小值．

（1）

=x2-2×2x+22

=（x-2）2，

故答案為：（x-2）2；

（2）①

=x2+2×2x+22

=（x+2）2

把x=-2代入上式得，

原式=（-2+2）2=0；

②=（x-3）2=0，

x-3=0，

x=3，

∴當x=3時，代數式x2-6x+9=0；

③=x2-2×6x+62-26=（x-6）2-26，

∵（x-6）2≥0，

∴（x-6）2-26≥-26，

∴代數式的最小值是-26，

故答案為：①0；②3；③-26；

（3）=（a-2）2+（b-4）2+10

∵（a-2）2≥0，（b-4）2≥0

∴（a-2）2+（b-4）2+10≥10

∴當a=2，b=4時，代數式的最小值是10．