Question

【題目】如圖，一次函數(shù)y=－x＋3的圖像分別與x軸、y軸交于A、B兩點(diǎn)．動(dòng)點(diǎn)P從A點(diǎn)開(kāi)始沿折線AO－OB－BA運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P在AO，OB，BA上運(yùn)動(dòng)的速度分別為1，，2 (長(zhǎng)度單位/秒)；動(dòng)點(diǎn)E從O點(diǎn)開(kāi)始以(長(zhǎng)度單位/秒)的速度沿線段OB運(yùn)動(dòng)．設(shè)P、E兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t (秒)，當(dāng)點(diǎn)P沿折線AO－OB－BA運(yùn)動(dòng)一周時(shí)，動(dòng)點(diǎn)E和P同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．過(guò)點(diǎn)E作EF∥OA，交AB于點(diǎn)F．

（1）求線段AB的長(zhǎng)；

（2）求證：∠ABO=30°；

（3）當(dāng)t為何值時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)E重合?

（4）當(dāng)t = 時(shí)，PE=PF ．

Answer 1

【答案】（1）6；（2）詳見(jiàn)解析；（3）；（4）

【解析】

（1）令y=0，求出x，得出A的坐標(biāo)及OA的長(zhǎng)，令x=0，得出B的坐標(biāo)及OB的長(zhǎng)，利用勾股定理即可求出AB的長(zhǎng)；

（2）取AB的中點(diǎn)C，連接OC．證明△OAC是等邊三角形，得到∠OAB=60°．根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可得出結(jié)論；

（3）由于P在OB上與E重合，則E的路程為OE，E所用的時(shí)間為t秒，P的路程為OA+OE，P在OA上所用的時(shí)間為3秒，在OE上所用的時(shí)間為（t-3）秒，根據(jù)P在OB上的路程與E的路程相同列方程，求解即可；

（4）先求出點(diǎn)P沿折線AO－OB－BA運(yùn)動(dòng)一周時(shí)所花的時(shí)間為9秒．然后分三種情況討論：①當(dāng)P在線段AO上時(shí)；②當(dāng)P在線段OB上時(shí)；③當(dāng)P在線段BA上時(shí)．

（1）令y=0，得：y=－x＋3=0，解得：x=3，∴A（3，0），∴OA=3．

令x=0，得：y=3，∴B（0，），∴OB=．

∵∠AOB=90°，∴AB==6；

（2）取AB的中點(diǎn)C，連接OC．

∵∠AOB=90°，C為AB的中點(diǎn)，∴OC=BC=CA=3．

∵OA=3，∴OC=CA=OA，∴△OAC是等邊三角形，∴∠OAB=60°．

∵∠AOB=90°，∴∠ABO=30°；

（3）由題意得：，解得： ，所以當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)E重合．

（4）P從A到O的時(shí)間為t=3÷1=3（秒），P從O到B的時(shí)間為÷ =3（秒），P從B到A的時(shí)間為：6÷2=3（秒），故點(diǎn)P沿折線AO－OB－BA運(yùn)動(dòng)一周時(shí)所花的時(shí)間為3+3+3=9（秒）．分三種情況討論：

①當(dāng)P在線段AO上時(shí)，即0＜t＜3時(shí)，由題意知：P（3-t，0），E（0，）．設(shè)F（a，b）．

∵EF∥OA，∴b=．

∵F在直線AB上，∴ ，解得：a=．∴F（，）．

∵PE=PF，∴P在EF的垂直平分線上，∴2（3-t）=，解得：t=；

②當(dāng)P在線段OB上時(shí)，即3≤t＜6時(shí)，由題意知：P（0，），E（0，），F（，）．

∵PE=PF，∴|－|= ，∴=0，解得：t=9（舍去）；

③當(dāng)P在線段BA上時(shí)，即6≤t＜9時(shí)，由題意知：E（0，），F（，），BP= ．設(shè)P（m，n），則m=BP=．

∵PE=PF，∴P在EF的垂直平分線上，∴2（t-6）=，解得：t=．

綜上所述：t=或．