Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，E、F分別是邊AB、CD上的點，AE=CF，連接EF、BF，EF與對角線AC交于點O，且BE=BF，∠BEF=2∠BAC．

（1）求證：OE=OF；
（2）若BC=2 ，求AB的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：在矩形ABCD中，AB∥CD，

∴∠BAC=∠FCO，

在△AOE和△COF中，

，

∴△AOE≌△COF（AAS），

∴OE=OF

（2）解：如圖，連接OB，

∵BE=BF，OE=OF，

∴BO⊥EF，

∴在Rt△BEO中，∠BEF+∠ABO=90°，

由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊上的一半可知：OA=OB=OC，

∴∠BAC=∠ABO，

又∵∠BEF=2∠BAC，

即2∠BAC+∠BAC=90°，

解得∠BAC=30°，

∵BC=2 ，

∴AC=2BC=4 ，

∴AB= = =6．

【解析】（1）依據矩形的性質可知AB∥CD，然后，再根據平行線的性質可得到∠BAC=∠FCO，接下來，利用“AAS”可證明△AOE≌△COF，再根據全等三角形的即可得證；
（2）連接OB，首先依據等腰三角形三線合一的性質可知BO⊥EF，然后再根據矩形的性質可得出OA=OB，接下來，再根據等邊對等角的性質證明∠BAC=∠ABO，然后依據三角形的內角和定理可得到∠BAC=30°，在Rt△ABC中，依據含30°直角三角形的性質可求得AC的長，最后，再利用勾股定理可求得AB的長.
【考點精析】根據題目的已知條件，利用等腰三角形的性質和含30度角的直角三角形的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握等腰三角形的兩個底角相等（簡稱：等邊對等角）；在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半．