Question

【題目】如圖所示，某工程隊準備在山坡（山坡視為直線l）上修一條路，需要測量山坡的坡度，即tanα的值．測量員在山坡P處（不計此人身高）觀察對面山頂上的一座鐵塔，測得塔尖C的仰角為37°，塔底B的仰角為26.6°．已知塔高BC=80米，塔所在的山高OB=220米，OA=200米，圖中的點O、B、C、A、P在同一平面內，求山坡的坡度．（參考數據sin26.6°≈0.45，tan26.6°≈0.50；sin37°≈0.60，tan37°≈0.75）

Answer 1

【答案】解：如圖，過點P作PD⊥OC于D，PE⊥OA于E，則四邊形ODPE為矩形．

在Rt△PBD中，∵∠BDP=90°，∠BPD=26.6°，

∴BD=PDtan∠BPD=PDtan26.6°；

在Rt△CPD中，∵∠CDP=90°，∠CPD=37°，

∴CD=PDtan∠CPD=PDtan37°；

∵CD﹣BD=BC，

∴PDtan37°﹣PDtan26.6°=80，

∴0.75PD﹣0.50PD=80，

解得PD=320（米），

∴BD=PDtan26.6°≈320×0.50=160（米），

∵OB=220米，

∴PE=OD=OB﹣BD=60米，

∵OE=PD=320米，

∴AE=OE﹣OA=320﹣200=120（米），

∴tanα= = =0.5，

∴坡度為1：2．

【解析】過點P作PD⊥OC于D，PE⊥OA于E，則四邊形ODPE為矩形，先解Rt△PBD，得出BD=PDtan26.6°；解Rt△CPD，得出CD=PDtan37°；再根據CD﹣BD=BC，列出方程，求出PD=320，進而求出PE=60，AE=120，然后在△APE中利用三角函數的定義即可求解．