Question

【題目】如圖1，在四邊形ABCD內接于⊙O，AB＝AC，BD為⊙O的直徑，AE⊥BD，垂足為點E，交BC于點F．

（1）求證：FA＝FB；

（2）如圖2，分別延長AD，BC交于點G，點H為FG的中點，連接DH，若tan∠ACB＝，求證：DH為⊙O的切線；

（3）在（2）的條件下，若DA＝3，求AE的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）AE＝2．

【解析】

（1）易得∠BAD＝90°，∠AED＝90°，根據余角的性質得∠BAE＝∠ADE，結合等腰三角形的性質和圓周角定理，即可得到結論；

（2）由正切函數的定義得AB＝AD， AG＝AB，從而得AG＝2AD，即點D為AG的中點，進而得DH∥AF，結合∠AED＝90°，即可得到結論；

（3）根據正切三角函數的定義和勾股定理得AB＝6，BD＝3，結合三角形的面積公式，即可得到答案．

（1）∵BD為⊙O的直徑，

∴∠BAD＝90°，

∴∠BAE+∠DAE＝90°，

∵AE⊥BD，

∴∠AED＝90°，

∴∠DAE+∠ADE＝90°，

∴∠BAE＝∠ADE，

∵AB＝AC，

∴∠ABC＝∠ACB，

又∵∠ACB＝∠ADE，

∴∠ABC＝∠ADE＝∠BAE，

∴FA＝FB；

（2）由（1）知，∠ABC＝∠ACB＝∠ADB，

∵tan∠ACB＝，

∴tan∠ABC＝tan∠ADB＝，

又∵∠BAD＝90°，

∴在Rt△BAD中，AB＝AD，在Rt△BAG中，AG＝AB，

∴AG＝（AD）＝2AD，

∴點D為AG的中點，

又∵點H為FG的中點，

∴DH∥AF，

由（1）知，∠AED＝90°，

∴∠HDE＝∠AED＝90°，

∴DH⊥OD，

∴DH為⊙O的切線；

（3）∵AD＝3，

∴AB＝AD＝6，

∴在Rt△ABD中，BD＝ ＝3，

∵S△ABD＝ABAD＝BDAE，

∴6×3＝3×AE，

∴AE＝2．