Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑作半圓⊙O，交BC于點D，連接AD、過點D作DE⊥AC，垂足為點E，交AB的延長線于點F．

（1）求證：EF是⊙O的切線；

（2）求證：△FDB∽△FAD；

（3）如果⊙O的半徑為5，sin∠ADE=，求BF的長．

Answer 1

【答案】解：（1）證明：如圖，連接OD，

∵AB為⊙O的直徑，∴∠ADB=90°。

∴AD⊥BC。

∵AB=AC，∴AD平分BC，即DB=DC。

∵OA=OB，∴OD為△ABC的中位線。

∴OD∥AC。

∵DE⊥AC，∴OD⊥DE。

∵OD是⊙O的半徑，∴EF是⊙O的切線。

（2）∵∠DAC=∠DAB，∴∠ADE=∠ABD。

∴在Rt△ADB中， 。

∵AB=10，∴AD=8，

∵在Rt△ADE中， ，∴。

∵OD∥AE，∴△FDO∽△FEA。

∴，即，解得。

【解析】試題分析：（1）連接OD，AB為⊙0的直徑得∠ADB=90°，由AB=AC，根據等腰三角形性質得AD平分BC，即DB=DC，則OD為△ABC的中位線，所以OD∥AC，而DE⊥AC，則OD⊥DE，然后根據切線的判定方法即可得到結論；

（2）利用兩角對應相等的兩三角形相似進行證明即可．

（3）由∠DAC=∠DAB，根據等角的余角相等得∠ADE=∠ABD，在Rt△ADB中，利用解直角三角形的方法可計算出AD=8，在Rt△ADE中可計算出AE=，然后由OD∥AE，得△FDO∽△FEA，再利用相似比可計算出BF．

試題解析：（1）證明：連接OD，如圖，

∵AB為⊙0的直徑，

∴∠ADB=90°，

∴AD⊥BC，

∵AB=AC，

∴AD平分BC，即DB=DC，

∵OA=OB，

∴OD為△ABC的中位線，

∴OD∥AC，

∵DE⊥AC，

∴OD⊥DE，

∴EF是⊙0的切線；

（2）證明：∵EF是⊙O的切線，

∴∠ODB+∠BDF=90°，

∵OD=OB，

∴∠OBD=∠ODB，

∴∠OBD+∠BDF=90°，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ADB=90°，

∴∠DAB+∠OBD=90°，

∴∠DAB=∠BDF，

∵∠BFD=∠DFA，

∴△FDB∽△FAD；

（3）∵∠DAC=∠DAB，

∴∠ADE=∠ABD，

在Rt△ADB中，sin∠ADE=sin∠ABD=，而AB=10，

∴AD=8，

在Rt△ADE中，sin∠ADE=，

∴AE=，

∵OD∥AE，

∴△FDO∽△FEA，

∴，

即，

∴BF=．