Question

【題目】如圖，點D、O在△ABC的邊AC上，以CD為直徑的⊙O與邊AB相切于點E，連結DE、OB，且DE∥OB．

（1）求證：BC是⊙O的切線．

（2）設OB與⊙O交于點F，連結EF，若AD＝OD，DE＝4，求弦EF的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）4

【解析】

（1）連接OE，根據切線的性質得到OE⊥AB，根據平行線的性質得到∠BOC＝∠EDO，∠BOE＝∠DEO，根據全等三角形的性質得到∠OCB＝∠OEB＝90°，于是得到BC是⊙O的切線；

（2）根據直角三角形的性質得到OD＝DE＝4，推出四邊形DOFE是平行四邊形，得到EF＝OD＝4．

（1）證明：連接OE，

∵以CD為直徑的⊙O與邊AB相切于點E，

∴OE⊥AB，

∵DE∥OB，

∴∠BOC＝∠EDO，∠BOE＝∠DEO，

∵OE＝OD，

∴∠EDO＝∠DEO，

∴∠BOC＝∠BOE，

∵OB＝OB，OC＝OE，

∴△OCB≌△OEB（SAS），

∴∠OCB＝∠OEB＝90°，

∴BC是⊙O的切線；

（2）解：∵∠AEO＝90°，AD＝OD，

∴ED＝AO＝OD，

∴OD＝DE＝4，

∵DE∥OF，DE＝OD＝OF，

∴四邊形DOFE是平行四邊形，

∴EF＝OD＝4，

∴弦EF的長為4．