Question

如圖，△ABC內接于⊙O, AD是⊙O直徑, E是CB延長線上一點, 且ÐBAE=ÐC.

（1）求證：直線AE是⊙O的切線；
（2）若EB="AB" , ,  AE=24，求EB的長及⊙O的半徑。

Answer 1

角度變換求證；

試題分析：證明：連結BD.   
∵AD是⊙O的直徑，
∴∠ABD =90°.
∴∠1+∠D =90°.
∵∠C=∠D，∠C=∠BAE，
∴∠D=∠BAE.    …………………………1分
∴∠1+∠BAE=90°.
即 ∠DAE=90°.
∵AD是⊙O的直徑，
∴直線AE是⊙O的切線.   ……………………………3分
（2）解: 過點B作BF⊥AE于點F, 則∠BFE=90°.
∵EB="AB,"
∴∠E=∠BAE, EF=AE=×24=12. 
∵∠BFE=90°, ,
∴=15.  …………………………………5分
∴AB=15.          
由（1）∠D=∠BAE，又∠E=∠BAE, 
∴∠D=∠E.
∵∠ABD=90°,
∴ .     …………………………………6
設BD=4k，則AD＝5k，在Rt △ABD中, 由勾股定理得AB＝="3k," 可求得k=5.     
∴
∴⊙o的半徑為.……
點評：本題屬于對勾股定理的基本知識的理解和運用