Question

如圖，點(diǎn)A、B在⊙O上，直線(xiàn)AC是⊙O的切線(xiàn)，OC⊥OB，連接AB交OC于點(diǎn)D．

（1）AC與CD相等嗎？為什么？
（2）若AC=2，AO=，求OD的長(zhǎng)度．

Answer 1

（1）AC=CD（2）OD=1

解：（1）AC=CD，理由如下：
∵OA=OB，∴∠OAB=∠B。
∵直線(xiàn)AC為圓O的切線(xiàn)，∴∠OAC=∠OAB+∠DAC=90°。
∵OB⊥OC，∴∠BOC=90°。∴∠ODB+∠B=90°。
∵∠ODB=∠CDA，∴∠CDA+∠B=90°。
∴∠DAC=∠CDA。∴AC=CD。
（2）在Rt△OAC中，AC=CD=2，AO=，OC=OD+DC=OD+2，
根據(jù)勾股定理得：OC²=AC²+AO²，即（OD+2）²=2²+（）²，
解得：OD=1（負(fù)值已舍去）。
（1）AC=CD，理由為：由AC為圓的切線(xiàn)，利用切線(xiàn)的性質(zhì)得到∠OAC為直角，再由OC與OB垂直，得到∠BOC為直角，由OA=OB，利用等邊對(duì)等角得到一對(duì)角相等，再利用對(duì)頂角相等及等角的余角相等得到一對(duì)角相等，利用等角對(duì)等邊即可得證。
（2）由ODC=OD+DC，DC=AC，表示出OC，在直角三角形OAC中，利用勾股定理即可求出OD的長(zhǎng)。