Question

已知：如圖，在ABCD中，O為對角線BD的中點，過點O的直線EF分別交AD，BC于E，F兩點，連結BE，DF．
（1）求證：△DOE≌△BOF．
（2）當∠DOE等于多少度時，四邊形BFDE為菱形?請說明理由．

Answer 1

（1）證明見解析；（2）當∠DOE=90°時，四邊形BFDE為菱形，理由見解析.

試題分析：（1）由四邊形ABCD是平行四邊形，即可得AD∥BC，OB=OD，從而∠EDO=∠FBO，∠OED=∠OFB，由AAS可證得△DOE≌△BOF.
（2）由△DOE≌△BOF，可得DE=BF，即可證得四邊形BEDF是平行四邊形，又由∠DOE=90°可得EF⊥BD，即可證得四邊形BEDF是菱形．
試題解析：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，OB=OD，
∴∠EDO=∠FBO，∠OED=∠OFB.
∴△DOE≌△BOF（AAS）.
（2）當∠DOE=90°時，四邊形BFDE為菱形，理由如下：
∵△DOE≌△BOF，∴DE=BF.
又∵ED∥BF，∴四邊形BEDF是平行四邊形.
∵∠DOE=90°，∴EF⊥BD.
∴BEDF是菱形．