Question

【題目】如圖，Rt△AOB在平面直角坐標系中，已知：B（0，），點A在x軸的正半軸上，OA=3，∠BAD=30°，將△AOB沿AB翻折，點O到點C的位置，連接CB并延長交x軸于點D．

（1）求點D的坐標；

（2）動點P從點D出發，以每秒2個單位的速度沿x軸的正方向運動，當△PAB為直角三角形時，求t的值；

（3）在（2）的條件下，當△PAB為以∠PBA為直角的直角三角形時，在y軸上是否存在一點Q使△PBQ為等腰三角形？如果存在，請直接寫出Q點的坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）D（﹣3，0）；（2）；（3）Q的坐標為Q1（0，+2），Q2（0，），Q3（0．﹣2），Q4（0，﹣）．

【解析】

（1）根據已知得出OA、OB的值以及∠DAC的度數，進而求得∠ADC，即可求得D的坐標；

（2）根據直角三角形的判定，分兩種情況討論求得；

（3）求得PB的長，分四種情形討論即可解決問題．

解：（1）∵B（0，），

∴OB=．

∵OA=OB，

∴OA=3，

∴AC=3．

∵∠BAD=30°，

∴∠OAC=60°．

∵∠ACD=90°，

∴∠ODB=30°，

∴=，

∴OD=3，

∴D（﹣3，0）；

（2）∵OA=3，OD=3，∴A（3，0），AD=6，

∴AB=2，當∠PBA=90°時．

∵PD=2t，

∴OP=3﹣2t．

∵△OBA∽△OPB，

∴OB2=OPOA，

∴3﹣2t==1，解得t=1，當∠APB=90°時，則P與O重合，

∴t=；

（3）存在．

①當BP為腰的等腰三角形．

∵OP=1，∴BP==2，

∴Q1（0，+2），Q3（0．﹣2）；

②當PQ2=Q2B時，設PQ2=Q2B=a，

在Rt△OPQ2中，12+（﹣x）2=x2，解得x=，

∴Q2（0，）；

③當PB=PQ4時，Q4（0，﹣）

綜上所述：滿足條件的點Q的坐標為Q1（0，+2），Q2（0，），Q3（0．﹣2），Q4（0，﹣）．