Question

【題目】如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AB為直徑，D是⊙O上一點，且弧CB=弧CD，CE⊥DA交DA的延長線于點E．

（1）求證：∠CAB＝∠CAE；

（2）求證：CE是⊙O的切線；

（3）若AE＝1，BD＝4，求⊙O的半徑長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）．

【解析】

（1）連接BD，根據圓內接四邊形的性質和等弧所對的圓周角相等，可得∠CAB＝∠CAE；

（2）連接OC，由題意可得∠ACB＝90°＝∠AEC，即可證∠BCO＝∠ACE＝∠ABC，可得∠ECO＝∠ACB＝90°，則可證CE是⊙O的切線；

（3）過點C作CF⊥AB于點F，由角平分線的性質可得CE＝CF，可證△CED≌△CFB，可得DE＝BF，根據勾股定理可求⊙O的半徑長．

證明：（1）連接BD

∵弧CB=弧CD，

∴∠CDB＝∠CBD，CD＝BC

∵四邊形ACBD是圓內接四邊形

∴∠CAE＝∠CBD，且∠CAB＝∠CDB，

∴∠CAB＝∠CAE；

（2）連接OC

∵AB為直徑，

∴∠ACB＝90°＝∠AEC，

又∵∠CAB＝∠CAE，

∴∠ABC＝∠ACE，

∵OB＝OC，

∴∠BCO＝∠CBO，

∴∠BCO＝∠ACE，

∴∠ECO＝∠ACE+∠ACO＝∠BCO+∠ACO＝∠ACB＝90°，

∴EC⊥OC，

∵OC是⊙O的半徑，

∴CE是⊙O的切線．

（3）過點C作CF⊥AB于點F，

又∵∠CAB＝∠CAE，CE⊥DA，

∴AE＝AF，

在△CED和△CFB中，

∵∠DEC=∠BFC=90°，

∠EDC=∠BFC，

CD=BC，

∴△CED≌△CFB（AAS），

∴ED＝FB，

設AB＝x，則AD＝x﹣2，

在△ABD中，由勾股定理得，x2＝（x﹣2）2+42，

解得，x＝5，

∴⊙O的半徑的長為．