Question

25、如圖，平行四邊形ABCD中，EF過AC的中點O，與邊AD、BC分別相交于點E、F．
（1）試說明四邊形AECF是平行四邊形；
（2）若EF與AC垂直，試說明四邊形AECF是菱形；
（3）當EF與AC有怎樣的數量和位置關系時，四邊形AECF是矩形（不必證明）．

Answer 1

分析：（1）平行四邊形的判定方法有多種，選擇哪一種解答應先分析題目中給的哪一方面的條件多些，本題所給的條件為EF過AC的中點O，通過三角形全等證明AE=CF，可選擇利用“對邊平行且相等的四邊形為平行四邊形”來解決．
（2）“對角線平分且垂直的平行四邊形是菱形”判定菱形．∵四邊形AECF是平行四邊形
∴EF與AC互相平分
∵EF與AC垂直
∴四邊形AECF是菱形
（3）“對角線平分且相等的平行四邊形是矩形”判定矩形．

解答：證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形
∴BC∥AD
∴AE∥CF
∴∠OAE=∠OCF
∵點O是AC的中點
∴OA=OC
在△AOE和△COF中，∠AOE=∠COF，OA=OC，∠OAE=∠OCF
∴△AOE≌△COF
∴AE=CF
∵AE∥CF
∴四邊形AECF是平行四邊形

（2）∵四邊形AECF是平行四邊形
∴EF與AC互相平分
∵EF與AC垂直
∴四邊形AECF是菱形

（3）當EF平分AC且等于AC時，四邊形AECF是矩形．

點評：考查平行四邊形、菱形、矩形的判定．