Question

【題目】在△ABC中，∠ABC=45，AD，BE分別為BC、AC邊上的高，AD、BE相交于點F，下列結論：

①∠FCD=45

②AE=EC

③S△ABF：S△AFC=AD：FD

④若BF=2EC，則△FDC周長等于AB的長．

正確結論的序號是___________．

Answer 1

【答案】①③④

【解析】

根據題意利用全等三角形的性質和三角形面積公式和三角形公共邊以及線段垂直平分線的性質進行綜合分析判斷即可.

解：∵∠ABC=45°，

∴AD=BD，∠DAC和∠FBD都是∠ACD的余角，

而∠ADB=∠ADC=90°，

∴△BDF≌△ADC，

∴FD=CD，

∴∠FCD=∠CFD=45°，

∴①正確；

若AE=EC，則∵BE⊥AC，

∴BA=BC，顯然不可能，故②錯誤；

∵△ABC中，AD，BE分別為BC、AC邊上的高，

∴AD⊥BC，而△ABF和△ACF有一條公共邊，

∴S△ABF：S△AFC =BD：CD，

∵AD=BD ，FD=CD，

∴S△ABF：S△AFC=AD：FD，

∴③正確；

若BF=2EC，根據①得BF=AC，

∴AC=2EC，

即E為AC的中點，

∴BE為線段AC的垂直平分線，

∴AF=CF，BA=BC，

∴AB=BD+CD=AD+CD=AF+DF+CD=CF+DF+CD，

即△FDC周長等于AB的長，

∴④正確．

故答案為：①③④.