Question

【題目】已知雙曲線y＝與直線y＝x相交于AB兩點，點C（2，2）、D（﹣2，﹣2）在直線上．

（1）若點P（1，m）為雙曲線y＝上一點，求PD﹣PC的值；

（2）若點P（x，y）（x＞0）為雙曲線上一動點，請問PD﹣PC的值是否為定值？請說明理由；

（3）若點P（x，y）（x＞0）為雙曲線上一動點，連接PC并延長PC交雙曲線另一點E，當P點使得PD﹣CE＝2PC時，求P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）4;（2）PD﹣PC的值為定值4，理由見解析;（3）P（2+，2﹣）或（2﹣，2+）．

【解析】

（1）求出點P坐標，利用兩點間距離公式計算即可．

（2）PD-PC的值為定值，理由為：把P坐標代入雙曲線解析式表示出y，利用兩點間的距離公式表示出PD與PC，求出之差即可．

（3）由題意PE=4．設直線PE的解析式為y=kx+b，由點C（2，2）在直線PE上可得b=2-2k，即得直線PE的解析式為y=kx+2-2k，則x1、x2是方程kx+2-2k=即kx2+（2-2k）x-2=0的兩根，然后結合條件PE=4，運用兩點間的距離公式和根與系數的關系求出k的值，代入方程kx2+（2-2k）x-2=0，解這個方程就可得到點P的坐標．

（1）∵點P（1，m）為雙曲線y＝上一點，

∴m＝2，

∴P（1，2），

∵C（2，2）、D（﹣2，﹣2），

∴PC＝＝1，PD＝＝5，

∴PD＝PC＝5﹣1＝4．

（2）PD﹣PC的值為定值4，理由為：

把P（x，y）代入雙曲線解析式得：y＝，即P（x，），

∵C（2，2），D（﹣2，﹣2），x＞0，

∴x+≥2 ＝2＞2，

∴PD＝＝＝＝x++2，

PC＝＝＝＝x+﹣2，

則PD﹣PC＝x++2﹣x﹣+2＝4；

（3）∵PD﹣CE＝2PC，

∴PD﹣PC＝PC+CE＝4，

∴PE＝4，

設直線PE的解析式為y＝kx+b，

∵點C（2，2）在直線PE上，

∴2k+b＝2，

∴b＝2﹣2k，

∴直線PE的解析式為y＝kx+2﹣2k，

設x1、x2是方程kx+2﹣2k＝即kx2+（2﹣2k）x﹣2＝0的兩根，

則有x1+x2＝＝2﹣，x1x2＝﹣，

∴（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝（2﹣）2﹣4（﹣）＝4+，

∴PE2＝（x1﹣x2）2+（﹣）2＝（x1﹣x2）2+4＝（4+）+4＝4++4k2+4＝+4k2+8．

∵PE＝4，

∴+4k2+8＝16，

∴+4k2﹣8＝0，

整理得（k2﹣1）2＝0，

解得k1＝1，k2＝﹣1．

由條件“延長PC交雙曲線另一點E”可得k＜0，

∴k＝﹣1，

代入kx2+（2﹣2k）x﹣2＝0得，

﹣x2+4x﹣2＝0，

解得x1＝2+，x2＝2﹣．

當x＝2+時，P坐標為（2+，2﹣）；當x＝2﹣時，P坐標為（2﹣，2+）．