Question

【題目】如圖，拋物線y＝ax2＋bx＋c與x軸交于點A（－1，O）、C（3，0），點B為拋物線頂點，直線BD為拋物線的對稱軸，點D在x軸上，連接AB、BC.

⑴如圖1，若∠ABC＝60°，則點B的坐標為______________；

⑵如圖2，若∠ABC＝90°，AB與y軸交于點E，連接CE.

①求這條拋物線的解析式；

②點P為第一象限拋物線上一個動點，設△PEC的面積為S，點P的橫坐標為m，求S關于m的函數關系武，并求出S的最大值；

③如圖3，連接OB，拋物線上是否存在點Q，使直線QC與直線BC所夾銳角等于∠OBD，若存在請直接寫出點Q的坐標；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1） ；（2）① ；② ，S的最大值；③或.

【解析】

（1）∠ABC=60°，故△ABC為等邊三角形，即可求解；

⑵①點B的坐標為（1，2），拋物線的表達式為：y=a（x-1）2+2，將點A的坐標代入上式，即可求解；

②分別求出直線AB、CE的表達式，過點P作PH∥y軸交EC于點H，用含m的式子表示出PH和OC,根據列出函數關系式并求出最值即可；

③在BD上作點F,使DF=BD，連接CF.過點F作FG∥x軸，分別交CQ于點M、交BC的延長線于點G，過點M作MH⊥CE于點H，則△CFG為等腰直角三角形，設HG=MH=n，求出，得到點M坐標為，進一步求出直線CM的表達式為：y=-3x+9；再將直線CM解析式與拋物線解析式聯立成方程組，求解得點Q的坐標.

解：（1）∠ABC=60°，故△ABC為等邊三角形，
AC=4，則

函數對稱軸為x=1，故點B

故答案是；

（2）①AC=4，則點B的坐標為（1，2），

拋物線的表達式為：y=a（x-1）2+2，
將點A的坐標代入上式得：0=a（-2）2+2，解得：

函數的表達式為：；

②將點A、B坐標代入一次函數表達式：y=kx+b得：

解得：

直線AB的表達式為：y=x+1，則點E（0，1），
同理可得直線CE的表達式為：

過點P作PH∥y軸交EC于點H，

則點，點

則

∴S有最大值，當時，最大值為：

③存在，點Q的坐標為或.

理由：

如圖3，在BD上作點F,使DF=BD，連接CF.過點F作FG∥x軸，分別交CQ于點M、交BC的延長線于點G，過點M作MH⊥CE于點H，則△CFG為等腰直角三角形，

∵AC=4，則

，QC與直線BC所夾銳角等于∠OBD，即：

設：HG=MH=n，則CH=2n，即

則點M坐標為

可解得直線CM的表達式為：y=-3x+9

將直線CM解析式與拋物線解析式聯立成方程組，并解得或

即點Q的坐標為或