Question

【題目】已知拋物線頂點A在x軸負半軸上，與y軸交于點B，OB＝1，△OAB為等腰直角三角形

（1）求拋物線的解析式

（2）若點C在拋物線上，若△ABC為直角三角形，求點C的坐標

（3）已知直線DE過點（－1，－4），交拋物線于點D、E，過D作DF∥x軸，交拋物線于點F，求證：直線EF經過一個定點，并求定點的坐標

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）見解析，定點

【解析】

（1）根據題意可得出點A的坐標，用頂點式求解拋物線解析式即可；

（2）設點C的坐標為(x,y)，利用勾股定理的逆定理分三種情況討論即可；

（3）設的解析式為，聯立直線DE與拋物線解析式得出，從而得出，繼而得出，再設的解析式為，通過聯立得出，進一步得出，聯立①②③④得，所以，過定點

解：（1）根據題意可得出拋物線頂點的坐標為(-1,0)，

∴拋物線的解析式為：；

（2）設點C的坐標為(x,y)，，A(-1,0)，B(0,1)，

當為直角頂點時，，

∴，

整理得：，

∵，

∴，

解得：（舍去），

∴，

∴點C的坐標為；

同理，當為直角頂點時，，

∴，

整理得：，

∵，

∴，

解得：（舍去），

∴，

∴點C的坐標為；

當為直角頂點時，不存在符合條件的點C；

（3）設的解析式為，聯立，

得，，

∴，

∵、F關于對稱軸對稱，

∴，

設的解析式為，

聯立，

得，，

∴，

聯立①②③④得，

∴，過定點．