Question

【題目】如圖，已知二次函數的圖象過點．，與軸交于另一點，且對稱軸是直線．

（1）求該二次函數的解析式；

（2）若是上的一點，作交于，當面積最大時，求的長；

（3）是軸上的點，過作軸與拋物線交于，過作軸于，當以為頂點的三角形與以為頂點的三角形相似時，求點的坐標．

Answer 1

【答案】（1）；（2） ；（3）或或

【解析】

（1）先根據對稱軸求出點B的坐標，然后將拋物線設成交點式，再將點A代入求解即可；

（2）設，先用待定系數法求出直線OA和直線AB的解析式，然后根據求出直線MN的解析式，再利用直線OA與直線MN聯立求出N的坐標，然后利用求出面積的最大值及此時t的值，進而可求出M,N的坐標，則MN的長度可求；

（3）設，分兩種情況：當時，，即；當時，，即，分別建立關于m的方程求解即可得出m的值，進而可求P的坐標．

解：（1）∵拋物線過原點，對稱軸是直線，

∴點坐標為．

設拋物線解析式為，

把代入得，

解得，

∴拋物線解析式為，

即；

（2）設，

設直線的解析式為，

把代入得，

解得，

∴直線的解析式為．

設直線的解析式為，

把代入得

，解得，

∴直線的解析式為．

∵，

∴設直線的解析式為，

把代入得，解得，

∴直線的解析式為．

將直線OA與直線MN方程聯立得，

解得，

∴，

∴，

當時，有最大值3，此時，

∴ ；

（3）設，

∵，

當時，，即，

∴，即，

則，得（舍去），，此時點坐標為，

或得（舍去），，此時點坐標為；

當時，，即，

∴，即，

則得（舍去），（舍去），

或得（舍去），，此時點坐標為；

綜上所述，點坐標為或或．