Question

【題目】如圖，以A（0， ）為圓心的圓與x軸相切于坐標原點O，與y軸相交于點B，弦BD的延長線交x軸的負半軸于點E，且∠BEO＝60°，AD的延長線交x軸于點C．

（1）分別求點E、C的坐標；

（2）求經過A、C兩點，且以過E而平行于y軸的直線為對稱軸的拋物線的函數解析式；

（3）設拋物線的對稱軸與AC的交點為M，試判斷以M點為圓心，ME為半徑的圓與⊙A的位置關系，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）點C的坐標為（－3，0）（2）（3）⊙M與⊙A外切

【解析】試題分析：（1）已知了A點的坐標，即可得出圓的半徑和直徑，可在直角三角形BOE中，根據∠BEO和OB的長求出OE的長進而可求出E點的坐標，同理可在直角三角形OAC中求出C點的坐標；

（2）已知了對稱軸的解析式，可據此求出C點關于對稱軸對稱的點的坐標，然后根據此點坐標以及C，A的坐標用待定系數法即可求出拋物線的解析式；

（3）兩圓應該外切，由于直線DE∥OB，因此∠MED=∠ABD，由于AB=AD，那么∠ADB=∠ABD，將相等的角進行置換后可得出∠MED=∠MDE，即ME=MD，因此兩圓的圓心距AM=ME+AD，即兩圓的半徑和，因此兩圓外切.

試題解析：（1）在Rt△EOB中， ，

∴點E的坐標為（－2，0）．

在Rt△COA中， ，

∴點C的坐標為（－3，0）．

（2）∵點C關于對稱軸對稱的點的坐標為F（－1，0），

　點C與點F（－1，0）都在拋物線上．

　設，用代入得

，

∴．　　

∴，即

．

（3）⊙M與⊙A外切，證明如下：

∵ME∥y軸，

∴．

∵，

∴．

∴．

∵，

∴⊙M與⊙A外切．