Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是△ABC的一條角平分線．點O、E、F分別在BD、BC、AC上，且四邊形OECF是正方形．

（1）求證：點O在∠BAC的平分線上；
（2）若AC=5，BC=12，求OE的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：過點O作OM⊥AB，

∵BD是∠ABC的一條角平分線，

∴OE=OM，

∵四邊形OECF是正方形，

∴OE=OF，

∴OF=OM，

∴AO是∠BAC的角平分線，即點O在∠BAC的平分線上

（2）解：∵在Rt△ABC中，AC=5，BC=12，

∴AB= = =13，

設CE=CF=x，BE=BM=y，AM=AF=z，

∴ ，

解得： ，

∴CE=2，

∴OE=2．

【解析】（1）過點O作OM⊥AB，根據角平分線的性質定理得出OE=OM，再根據正方形的性質得出OE=OF，從而得出OF=OM，，根據角平分線的判定定理得出結論；
（2）在Rt△ABC中，利用勾股定理得出AB的長，設CE=CF=x，BE=BM=y，AM=AF=z，根據切線長定理得出方程組，求解即可。
【考點精析】關于本題考查的切線長定理和角的平分線判定，需要了解從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角；可以證明三角形內存在一個點，它到三角形的三邊的距離相等這個點就是三角形的三條角平分線的交點(交于一點)才能得出正確答案．