Question

【題目】如圖，P為正方形ABCD的邊BC上一動點（P與B、C不重合），連接AP，過點B作BQ⊥AP交CD于點Q，將△BQC沿BQ所在的直線對折得到△BQC′，延長QC′交BA的延長線于點M．

（1）試探究AP與BQ的數量關系，并證明你的結論；
（2）當AB=3，BP=2PC，求QM的長；
（3）當BP=m，PC=n時，求AM的長．

Answer 1

【答案】
（1）解：AP=BQ．

理由：∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB=BC，∠ABC=∠C=90°，

∴∠ABQ+∠CBQ=90°．

∵BQ⊥AP，∴∠PAB+∠QBA=90°，∴∠PAB=∠CBQ．

在△PBA和△QCB中，

，

∴△PBA≌△QCB，

∴AP=BQ

（2）解：過點Q作QH⊥AB于H，如圖．

∵四邊形ABCD是正方形，

∴QH=BC=AB=3．

∵BP=2PC，

∴BP=2，PC=1，

∴BQ=AP= = = ，

∴BH= = =2．

∵四邊形ABCD是正方形，

∴DC∥AB，

∴∠CQB=∠QBA．

由折疊可得∠C′QB=∠CQB，

∴∠QBA=∠C′QB，

∴MQ=MB．

設QM=x，則有MB=x，MH=x﹣2．

在Rt△MHQ中，

根據勾股定理可得x2=（x﹣2）2+32，

解得x= ．

∴QM的長為

（3）解：過點Q作QH⊥AB于H，如圖．

∵四邊形ABCD是正方形，BP=m，PC=n，

∴QH=BC=AB=m+n．

∴BQ2=AP2=AB2+PB2，

∴BH2=BQ2﹣QH2=AB2+PB2﹣AB2=PB2，

∴BH=PB=m．

設QM=x，則有MB=QM=x，MH=x﹣m．

在Rt△MHQ中，

根據勾股定理可得x2=（x﹣m）2+（m+n）2，

解得x=m+n+ ，

∴AM=MB﹣AB=m+n+ ﹣m﹣n= ．

∴AM的長為 ．

【解析】（1）由正方形的性質得出AB=BC，∠ABC=∠C=90°，由同角的余角相等得出∠PAB=∠CBQ．進而利用ASA得出△PBA≌△QCB，，由全等三角形對應邊相等得出結論；
（2）過點Q作QH⊥AB于H，由正方形的性質得出QH=BC=AB=3．結合已知 條件得出BP=2，PC=1，進而根據勾股定理求出BH的長，再由折疊的性質得到∠C′QB=∠CQB，從而得到MQ=MB，設QM=x，則有MB=x，MH=x﹣2，在Rt△MHQ中，根據勾股定理得出方程，解方程得到x的值，即可；
（3）過點Q作QH⊥AB于H，由正方形的性質得出QH=BC=AB=m+n,結合已知 條件得出BP=m，PC=n，進而根據勾股定理求出BH的長，再由折疊的性質得到∠C′QB=∠CQB，從而得到MQ=MB，設QM=x，則有MB=x，MH=x﹣m，在Rt△MHQ中，根據勾股定理得出方程，解方程得到x的值，即可；

【考點精析】利用勾股定理的概念和正方形的性質對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2；正方形四個角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角；正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形；正方形的對角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形．