Question

請閱讀下列材料：
問題：如圖（2），一圓柱的高AB=5dm，底面半徑為5dm，BC是底面直徑，求一只螞蟻從A點出發(fā)沿圓柱表面爬行到點C的最短路線．小明設計了兩條路線：
路線1：沿側面展開圖中的線段AC．如下圖（2）所示：

設路線1的長度為l₁，則l₁²=AC²=AB²+BC²=5²+（5π）²=25+25π²
路線2：高線AB+底面直徑BC．如上圖（1）所示：
設路線2的長度為l₂，則l₂²=（AB+BC）²=（5+10）²=225
∵l₁²-l₂²=25+25π²-225=25π²-200=25（π²-8）＞0
∴l(xiāng)₁²＞l₂²，∴l(xiāng)₁＞l₂
所以要選擇路線2較短．
（1）小明對上述結論有些疑惑，于是他把條件改成：“圓柱的底面半徑為1dm，高AB仍為5dm”繼續(xù)按前面的路線進行計算．請你幫小明完成下面的計算：
路線1：l₁²=AC²=AB²+BC²=

 

；
路線2：l₂²=（AB+BC）²=

 

．
∵l₁²

 

l₂²，∴l(xiāng)₁

 

l₂（ 填＞或＜）
所以應選擇路線

 

（填1或2）較短．
（2）請你幫小明繼續(xù)研究：設圓柱的底面半徑為r，高為h，當螞蟻走上述兩條路線的路程出現(xiàn)相等情況時，求出此時h與r的比值（本小題π的值取3）．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)勾股定理易得路線1：l₁²=AC²=高²+底面周長一半²；路線2：l₂²=（高+底面直徑）²；讓兩個平方比較，平方大的，底數(shù)就大．
（2）根據(jù)（1）得到的結論讓l₁²-l₂²=0進行計算即可．

解答：解：（1）路線1：l₁²=AC²=25+π²（dm²）．
路線2：l₂²=（AB+BC）²=49（dm²）．
∵l₁²＜l₂²，
∴l(xiāng)₁＜l₂（填＞或＜），
∴選擇路線1（填1或2）較短．（5分）

（2）l₁²=AC²=AB²+BC²=h²+（πr）²，
l₂²=（AB+BC）²=（h+2r）²，
l₁²-l₂²=h²+（πr）²-（h+2r）²=r（π²r-4r-4h）=r[（π²-4）r-4h]；
r恒大于0，只需看后面的式子即可．（2分）
當 r=

4h

π2-4

，
即h：r=5：4時，l₁²=l₂²．

點評：本題考查了平面展開-最短路徑問題，比較兩個數(shù)的大小，有時比較兩個數(shù)的平方比較簡便，比較兩個數(shù)的平方，通常讓這兩個數(shù)的平方相減．注意運用類比的方法做類型題．