Question

請閱讀下列材料：問題：已知方程x²+x-3=0，求一個一元二次方程，使它的根分別是已知方程根的2倍
解：設所求方程的根為y，則y=2x，
所以x=

y

2

．
把x=

y

2

代入已知方程，得
(

y

2

)2+

y

2

-3=0
化簡，得y²+2y-12=0故所求方程為y²+2y-12=0．
這種利用方程根的代換求新方程的方法，我們稱為“換根法”．
（1）已知方程x²+x-1=0，求一個一元二次方程，使它的根分別是已知方程根的3倍，則所求方程為

y²+3y-9=0

（2）已知關于x的一元二次方程ax²+bx+c=0有兩個不等于零的實數根，求一個一元二次方程，使它的根分別是已知方程根的倒數；
（3）已知關于x的方程x²-mx+n=0有兩個實數根，求一個方程，使它的根分別是已知方程根的平方．

Answer 1

分析：根據所給的材料，設所求方程的根為y，再表示出x，代入原方程，整理即可得出所求的方程．

解答：解：（1）設所求方程的根為y，則y=3x，
所以x=

y

3

．
把x=

y

3

代入已知方程，得
(

y

3

)2+

y

3

-1=0
化簡，得y²+3y-9=0，
故所求方程為y²+3y-9=0．
故答案是：y²+3y-9=0；

（2）設所求方程的根為y，則y=

1

x

（x≠0），于是x=

1

y

（y≠0）
把x=

1

y

代入方程ax²+bx+c=0，得a（

1

y

）²+b•

1

y

+c=0
去分母，得a+by+cy²=0．
若c=0，有ax²+bx=0，于是方程ax²+bx+c=0有一個根為0，不符合題意，
∴c≠0，
故所求方程為cy²+by+a=0（c≠0）；

（3）設所求方程的根為y，則y=x²，
所以x=±

y

．
①當x=

y

時，
把x=

y

代入已知方程，得
(

y

)2-m

y

+n=0，即y-m

y

+n=0；
②當x=-

y

時，
把x=-

y

代入已知方程，得
(

y

)2+m

y

+n=0，即y+m

y

+n=0．

點評：本題主要考查了一元二次方程的解、根的判別式．本題是一道材料題，是一種新型問題，解題時，要提取材料中的關鍵性信息．