Question

請閱讀下列材料：
問題：已知方程x²+x-1=0，求一個一元二次方程，使它的根分別是已知方程根的2倍．
解：設所求方程的根為y，則y=2x所以x=

y

2

．
把x=

y

2

代入已知方程，得（

y

2

）²+

y

2

-1=0
化簡，得y²+2y-4=0
故所求方程為y²+2y-4=0．
這種利用方程根的代換求新方程的方法，我們稱為“換根法”．
請用閱讀村料提供的“換根法”求新方程（要求：把所求方程化為一般形式）：
（1）已知方程x²+x-2=0，求一個一元二次方程，使它的根分別為己知方程根的相反數，則所求方程為：

 

；
（2）己知關于x的一元二次方程ax²+bx+c=0有兩個不等于零的實數根，求一個一元二次方程，使它的根分別是己知方程根的倒數．

Answer 1

分析：根據所給的材料，設所求方程的根為y，再表示出x，代入原方程，整理即可得出所求的方程．

解答：解：（1）設所求方程的根為y，則y=-x所以x=-y．
把x=-y代入已知方程，得y²-y-2=0，
故所求方程為y²-y-2=0；

（2）設所求方程的根為y，則y=

1

x

（x≠0），于是x=

1

y

（y≠0）
把x=

1

y

代入方程ax²+bx+c=0，得a（

1

y

）²+b•

1

y

+c=0
去分母，得a+by+cy²=0．
若c=0，有ax²+bx=0，即x（ax+b）=0，
可得有一個解為x=0，不符合題意，因為題意要求方程ax²+bx+c=0有兩個不為0的根．
故c≠0，
故所求方程為cy²+by+a=0（c≠0）．

點評：本題是一道材料題，考查了一元二次方程的應用，以及解法，是一種新型問題，要熟練掌握．