Question

（2013•貴陽模擬）請閱讀下列材料：
問題：如圖1，圓柱的底面半徑為1dm，BC是底面直徑，圓柱高AB為5dm，求一只螞蟻從點A出發沿圓柱表面爬行到點C的最短路線，小明設計了兩條路線：
路線1：高線AB+底面直徑BC，如圖1所示．路線2：側面展開圖中的線段AC，如圖2所示．（結果保留π）

（1）設路線1的長度為L₁，則L12=

49

．設路線2的長度為L₂，則L22=

25+π²

．所以選擇路線

2

（填1或2）較短．
（2）小明把條件改成：“圓柱的底面半徑為5dm，高AB為1dm”繼續按前面的路線進行計算．此時，路線1：L12=

121

．路線2：L22=

1+25π²

．所以選擇路線

1

（填1或2）較短．
（3）請你幫小明繼續研究：當圓柱的底面半徑為2dm，高為hdm時，應如何選擇上面的兩條路線才能使螞蟻從點A出發沿圓柱表面爬行到點C的路線最短．

Answer 1

分析：（1）根據勾股定理易得路線l₂²=AC²=高²+底面周長一半²；路線1：l₁²=（高+底面直徑）²；讓兩個平方比較，平方大的，底數就大．
（2）根據勾股定理易得路線l₂²=AC²=高²+底面周長一半²；路線1：l₁²=（高+底面直徑）²；讓兩個平方比較，平方大的，底數就大．
（3）根據（1）得到的結論讓兩個代數式分三種情況進行比較即可．

解答：解：（1）∵l₁²=7²=49，
L22=AC²=AB²+BC²=5²+（5π）²=25+25π²，
49＞25+25π²，
所以選擇路線2較短；

（2）∵L₁²=（AB+BC）²=（1+10）²=121，
L22=1+25π²
∵l₁²-l₂²＞0，
∴l₁²＞l₂²，∴l₁＞l₂，所以要選擇路線1較短．

（3）當圓柱的底面半徑為2dm，高為hdm時，
l₂²=AC²=AB²+

BC

²=h²+4π²，
l₁²=（AB+BC）²=（h+4）²，
l₁²-l₂²=（h+4）²-h²+（2π）²=4π²-8h-16=4[（π²-4）-2h]；
當（π²-4）-2h=0時，即h=

π2-4

2

時，l₁²=l₂²；
當h＞

π2-4

2

時，l₁²＜l₂²；
當h＜

π2-4

2

時，l₁²＞l₂²．
故答案為：49，25+π²，2；121，1+25π²，1．

點評：此題主要考查了平面展開最短路徑問題，比較兩個數的大小，有時比較兩個數的平方比較簡便，比較兩個數的平方，通常讓這兩個數的平方相減．注意運用類比的方法做類型題．