Question

如圖，平行四邊形ABCD中，AB=8cm，BC=6cm，∠A=45°，點P從點A沿AB邊向點B移動，點Q從點B沿BC邊向點C移動，P、Q同時出發，速度都是1cm/s
（1）P、Q移動幾秒時，△PBQ為等腰三角形；
（2）設S_△PBQ=y，請寫出y（cm²）與點P、Q的移動時間x（s）之間的函數關系式，并寫出x的取值范圍；
（3）能否使S_△PBQ=

1

3

SABCD？若不能請說明理由，若能，也說明理由．

Answer 1

分析：（1）表示出PB、BQ的長度，然后根據等腰三角形的兩邊PB=BQ，列式進行計算即可求解；
（2）根據平行四邊形的對邊平行可得AD∥BC，過點Q作QE⊥AB，垂足為E，根據兩直線平行，同位角相等可得∠QBE=45°，然后求出QE的長度，再根據三角形的面積公式列式進行計算即可求解；
（3）假設能成立，列式并整理得到關于x方程，如果方程有解且在x的取值范圍內，則能，否則不能．

解答：解：（1）設P、Q移動x秒時，△PBQ為等腰三角形，
則PB=AB-AP=8-x，BQ=x，
∵PB=BQ，
∴8-x=x，
解得x=4；

（2）如圖，過點Q作QE⊥AB，垂足為E，
在平行四邊形ABCD中，AD∥BC，
∵∠A=45°，
∴∠QBE=∠A=45°，
∴QE=QB•sin45°=

2

2

x，
∴S_△PBQ=y=

1

2

×PB×QE，
=

1

2

×（8-x）×

2

2

x，
=-

2

4

x²+2

2

x；
∵P從點A沿AB邊向點B移動，點Q從點B沿BC邊向點C移動，
∴0≤x≤6，
∴函數關系式為：y=-

2

4

x²+2

2

x（0≤x≤6）；

（3）不能．
理由如下：假設能，
∵AB=8cm，BC=6cm，∠A=45°，
∴S_ABCD=AB•BCsin45°=8×6×

2

2

=24

2

，
∴-

2

4

x²+2

2

x=

1

3

×24

2

，
整理得x²-8x+32=0，
∵△=b²-4ac=（-8）²-4×1×32=-64＜0，
∴此方程無解．
故不能．

點評：本題考查了平行四邊形的性質，等腰三角形的兩邊相等的性質，一元二次方程的應用，是綜合性題目，難度較大，根據動點的移動表示出邊PB、QB的長度是解題的關鍵，難度較大，計算時一定要仔細小心．