Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E是BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接DE，交AC于點(diǎn)F．

（1）如圖①，當(dāng) 時(shí)，求 的值；
（2）如圖②當(dāng)DE平分∠CDB時(shí)，求證：AF= OA；
（3）如圖③，當(dāng)點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)時(shí)，過點(diǎn)F作FG⊥BC于點(diǎn)G，求證：CG= BG．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵ ，

∴ ．

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AD∥BC，AD=BC，

∴△CEF∽△ADF，

∴ ，

∴ = ，

∴ = = ；

（2）

證明：∵DE平分∠CDB，∴∠ODF=∠CDF，

又∵AC、BD是正方形ABCD的對(duì)角線．

∴∠ADO=∠FCD=45°，∠AOD=90°，OA=OD，而∠ADF=∠ADO+∠ODF，∠AFD=∠FCD+∠CDF，

∴∠ADF=∠AFD，∴AD=AF，

在直角△AOD中，根據(jù)勾股定理得：AD= = OA，

∴AF= OA

（3）

證明：連接OE．

∵點(diǎn)O是正方形ABCD的對(duì)角線AC、BD的交點(diǎn)．

∴點(diǎn)O是BD的中點(diǎn)．

又∵點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，

∴OE是△BCD的中位線，

∴OE∥CD，OE= CD，

∴△OFE∽△CFD．

∴ = = ，

∴ = ．

又∵FG⊥BC，CD⊥BC，

∴FG∥CD，

∴△EGF∽△ECD，

∴ = = ．

在直角△FGC中，∵∠GCF=45°．

∴CG=GF，

又∵CD=BC，

∴ = = ，

∴ = ．

∴CG= BG．

【解析】（1）利用相似三角形的性質(zhì)求得EF與DF的比值，依據(jù)△CEF和△CDF同高，則面積的比就是EF與DF的比值，據(jù)此即可求解；（2）利用三角形的外角和定理證得∠ADF=∠AFD，可以證得AD=AF，在直角△AOD中，利用勾股定理可以證得；（3）連接OE，易證OE是△BCD的中位線，然后根據(jù)△FGC是等腰直角三角形，易證△EGF∽△ECD，利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等即可證得．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解相似三角形的判定與性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)，掌握相似三角形的一切對(duì)應(yīng)線段(對(duì)應(yīng)高、對(duì)應(yīng)中線、對(duì)應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方，以及對(duì)相似三角形的應(yīng)用的理解，了解測(cè)高：測(cè)量不能到達(dá)頂部的物體的高度，通常用“在同一時(shí)刻物高與影長(zhǎng)成比例”的原理解決；測(cè)距：測(cè)量不能到達(dá)兩點(diǎn)間的舉例，常構(gòu)造相似三角形求解．