Question

【題目】已知：如圖，在△ABC中，BC=AC，以BC為直徑的⊙O與邊AB相交于點D，DE⊥AC，垂足為點E．
（1）求證：點D是AB的中點；
（2）判斷DE與⊙O的位置關系，并證明你的結論；
（3）若⊙O的直徑為18，cosB= ，求DE的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接CD，

∵BC為⊙O的直徑，∴CD⊥AB，

又∵AC=BC，

∴AD=BD，即點D是AB的中點

（2）解：DE是⊙O的切線．

證明：連接OD，則DO是△ABC的中位線，

∴DO∥AC，

又∵DE⊥AC，

∴DE⊥DO即DE是⊙O的切線

（3）解：∵AC=BC，∴∠B=∠A，

∴cosB=cosA= ，

∵cosB= ，BC=18，

∴BD=6，

∴AD=6，

∵cosA= ，

∴AE=2，

在Rt△AED中，DE= ．

【解析】（1）連接CD，由BC為直徑可知CD⊥AB，又BC=AC，由等腰三角形的底邊“三線合一”證明結論；（2）連接OD，則OD為△ABC的中位線，OD∥AC，已知DE⊥AC，可證DE⊥OC，證明結論；（3）連接CD，在Rt△BCD中，已知BC=18，cosB= ，求得BD=6，則AD=BD=6，在Rt△ADE中，已知AD=6，cosA=cosB= ，可求AE，利用勾股定理求DE．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用勾股定理的概念和圓周角定理的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2；頂點在圓心上的角叫做圓心角;頂點在圓周上，且它的兩邊分別與圓有另一個交點的角叫做圓周角;一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半．