Question

【題目】根據直角三角形的判定的知識解決下列問題
（1）如圖①所示，P是等邊△ABC內的一點，連接PA、PB、PC，將△BAP繞B點順時針旋轉60°得△BCQ，連接PQ．若PA2+PB2=PC2，證明∠PQC=90°；

（2）如圖②所示，P是等腰直角△ABC（∠ABC=90°）內的一點，連接PA、PB、PC，將△BAP繞B點順時針旋轉90°得△BCQ，連接PQ．當PA、PB、PC滿足什么條件時，∠PQC=90°？請說明．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：由旋轉的性質知：BP=BQ、PA=QC，∠ABP=∠CBQ；

∵△ABC是等邊三角形，

∴∠ABC=60°，即∠CBP+∠ABP=60°；

∵∠ABP=∠CBQ，

∴∠CBP+∠CBQ=60°，即∠PBQ=60°；

又∵BP=BQ，∴△BPQ是等邊三角形；

∴BP=PQ；

∵PA2+PB2=PC2，即PQ2+QC2=PC2；

∴△PQC是直角三角形，且∠PQC=90°

（2）

解：PA2+2PB2=PC2；理由如下：

同（1）可得：△PBQ是等腰直角三角形，則PQ= PB，即PQ2=2PB2；

由旋轉的性質知：PA=QC；

在△PQC中，若∠PQC=90°，則PQ2+QC2=PC2，即PA2+2PB2=PC2；

故當PA2+2PB2=PC2時，∠PQC=90°．

【解析】（1）由旋轉的性質可得到的條件是：①BP=BQ、PA=QC，②∠ABP=∠CBQ；
由②可證得∠PBQ=∠CBP+∠CBQ=∠CBP+∠ABP=∠ABC=60°，聯立BP=BQ，即可得到△BPQ是等邊三角形的結論，則BP=PQ；將等量線段代換后，即可得出PQ2+QC2=PC2，由此可證得∠PQC=90°；（2）由（1）的解題思路知：△PBQ是等腰Rt△，則PQ2=2PB2，其余過程同（1），只不過所得結論稍有不同．此題考查了等邊三角形、等腰直角三角形的性質，旋轉的性質，直角三角形的判定及勾股定理的應用等知識，能夠正確的判斷出△BPQ的形狀，從而得到BP、PQ的數量關系，是解答此題的關鍵．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解等邊三角形的性質的相關知識，掌握等邊三角形的三個角都相等并且每個角都是60°，以及對勾股定理的逆定理的理解，了解如果三角形的三邊長a、b、c有下面關系：a2+b2=c2，那么這個三角形是直角三角形．