Question

【題目】 如圖，△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝α，tanα＝，AD⊥BC于點D，點E是線段AD上的一個動點，連接EB，將線段EB繞點E逆時針旋轉2α后得到線段EF，連接AF，若BC＝24，則線段AF的最小值為_____．

Answer 1

【答案】

【解析】

連接BF，過點E作EH⊥BF于H，作，在BT上取一點使得AT＝BT，連接AT，TE，過點T作TG⊥AB于G，證明∽，推出＝＝，得到AF＝TE，求出TE的最小值即可解決問題．

解：如圖，連接BF，過點E作EH⊥BF于H，作，在BT上取一點使得AT＝BT，連接AT，TE，過點T作TG⊥AB于G，

∵BE＝EF，EH⊥BF，∠BEF＝2α，

∴∠BEH＝∠FEH＝α，∠BHE＝90°，BH＝FH，

∴∠EBF+∠BEH＝∠EBF+α＝90°，

∵AB＝AC，AD⊥BC，

∴∠BAD+∠ABD＝90°，即∠BAD+α＝90°，

∴∠EBF＝∠BAD，

∵AD∥BT，

∴∠ABT＝∠BAD，

∴∠ABT＝∠EBF，

∴∠ABT+∠ABE＝∠EBF+∠ABE，即∠TBE＝∠ABF，

∵TG⊥AB于G，

∴∠ABT+∠BTG＝90°，

又∵∠EBF+∠BEH＝90°，

∴∠BTG＝∠BEH＝α，

∵tanα＝，

∴tan∠BEH＝＝，設BH＝5k，EH＝6k，則BF＝10k，BE＝k，

∴＝＝，

∵TA＝TB，TG⊥AB，

∴AG＝BG，

∵tan∠ABD＝＝，

∴設AD＝5m，BD＝6m，則AB＝m，AG＝BG＝m，

又∵tan∠BTG＝＝，

∴TG＝m，則BT＝m，

∴＝，

∴＝，

∵∠TBE＝∠ABF，

∴∽，

∴＝＝，

∴AF＝TE，

∵CD＝DB＝12，tan∠ABC＝＝，

∴AD＝10，AB＝＝＝，

∴BT＝AT＝，

∵ET最小時，AF的值最小，觀察圖象可知當E與A重合時，ET的值最小，最小值為，

∴AF的最小值＝．

故答案為：．