Question

【題目】 如圖，在平面直角坐標系中，直線y1＝kx+b與x軸交于點A（4，0），與y軸交于點B（0，3），點C是直線y2＝x+5上的一個動點，連接BC，過點C作CD⊥AB于點D．

(1)求直線y1＝kx+b的函數表達式；

(2)當BC∥x軸時，求BD的長；

(3)點E在線段OA上，OE＝OA，當點D在第一象限，且△BCD中有一個角等于∠OEB時，請直接寫出點C的橫坐標．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）或．

【解析】

（1）把A、B兩點坐標代入y1＝kx+b，求出a，b的值即可解決問題；

（2）求出點C的坐標，求出直線CD的解析式，構建方程組確定交點坐標即可．

（3）分兩種情形：當∠BCD＝∠BEO時，過點A作AM⊥BC交BC的延長線于M，點M作MN⊥x軸于N．當∠CBD＝∠BEO時，同法可得點C的橫坐標．

（1）把A（4，0），B（0，3）代入y1＝kx+b，

得到，

解得：，

∴y1＝﹣x+3．

（2）∵BC∥x軸，

∴點C的縱坐標為3，

當y＝3時，3＝﹣x+5，

解得x＝，

∴C（，3），

∵CD⊥AB，

∴直線CD的解析式為y＝x+，

由，解得，

∴D（，），

∴BD＝＝．

（3）如圖，當∠BCD＝∠BEO時，過點A作AM⊥BA交BC的延長線于M，過點M作MN⊥x軸于N．

∵OB＝3，OE＝OA＝，

∴tan∠BEO＝＝2，

∵CD⊥AB，AM⊥AB，

∴CD∥AM，

∴∠AMB＝∠BCD＝∠BEO，

∴tan∠AMB＝＝2，

∵AB＝＝＝5，

∴AM＝AB＝，

∵∠AOB＝∠ANM＝∠BAM＝90°，

∴∠BAO+∠ABO＝90°，∠BAO+∠MAN＝90°，

∴∠MAN＝∠ABO，

∴△ABO∽△MAN，

∴＝＝，

∴＝＝，

∴AN＝，MN＝2，

∴M（，2），

∴直線BM的解析式為y＝﹣x+3，

由，解得x＝，

∴點C的橫坐標為

如圖，當∠CBD＝∠BEO時，過點A作AM⊥BA交BC的延長線于M，過點M作MN⊥x軸于N．

同法可得AM=10，AN=6，MN=8，

∴ON=10，

∴M（10，8），

∴直線BM的解析式為y＝x+3，

由，解得x＝，

∴點C的橫坐標為

綜上所述，點C的橫坐標為或．